求 f(t) = t·e^(2t) 的拉普拉斯变换，并说明它的收敛域。

Step-by-step solution

1. 1

   从已经会的那个变换出发。 幂函数的基本公式给出

   $\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}},\qquad\text{于是}\qquad \mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}}\quad (s>0).$

   这道题里剩下的就只有那个指数因子，而恰好有一条规则专门为它准备。

2. 2

   套用第一位移定理。 该定理说：函数乘上 $e^{at}$，它的变换就发生平移：

   $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a),\qquad F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.$

   取 $f(t)=t$，则 $F(s)=\tfrac{1}{s^{2}}$，$a=2$，于是把每个 $s$ 都换成 $s-2$：

   $\mathcal{L}\{t\,e^{2t}\}=\frac{1}{(s-2)^{2}}.$

3. 3

   用「乘以 $t$」的法则交叉验证。 另一条独立的路径是 $\mathcal{L}\{t\,g(t)\}=-\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{g(t)\}$，取 $g(t)=e^{2t}$，它的变换是 $\tfrac{1}{s-2}$：

   $-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-2}\right)=\frac{1}{(s-2)^{2}}.$

   两条不同的定理给出同一个式子，这就很有力地说明答案没错。

4. 4

   再直接按定义确认一次。 取 $u=t$、$dv=e^{-(s-2)t}dt$ 作分部积分：

   $\int_{0}^{\infty}t\,e^{2t}e^{-st}\,dt=\int_{0}^{\infty}t\,e^{-(s-2)t}\,dt=\left[\frac{-t\,e^{-(s-2)t}}{s-2}\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s-2}\int_{0}^{\infty}e^{-(s-2)t}dt=\frac{1}{(s-2)^{2}}.$

5. 5

   给出收敛域。 只有当指数 $-(s-2)$ 为负时，边界项才会消失、最后那个积分才收敛，也就是

   $s-2>0\;\Longleftrightarrow\;s>2.$

   这一点从答案本身也看得出来：变换在 $s=2$ 处有一个二阶极点，而收敛域总是落在最右边那个极点的右侧。