求解微分方程 3(1 + t²) dy/dt = 2ty(y³ − 1)。

Step-by-step solution

1. 1

   先把平衡解找出来。 当 $y=0$ 或 $y^3=1$ 时右端为零，而常数解满足 $\tfrac{dy}{dt}=0$，所以

   $y\equiv 0\qquad\text{和}\qquad y\equiv 1$

   都是方程的解。先把它们找出来很要紧，因为下面的换元要除以 $y$。

2. 2

   认出伯努利方程的形状。 两边同除以 $3(1+t^2)$ 并把右端展开：

   $\frac{dy}{dt}+\frac{2t}{3(1+t^2)}\,y=\frac{2t}{3(1+t^2)}\,y^{4}$

   这是指数 $n=4$ 的伯努利方程，标准的对症下药就是令 $v=y^{1-n}=y^{-3}$。

3. 3

   作换元 $v=y^{-3}$。 此时 $\dfrac{dv}{dt}=-3y^{-4}\dfrac{dy}{dt}$，再把 $\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{2ty(y^3-1)}{3(1+t^2)}$ 代进去：

   $\frac{dv}{dt}=-3y^{-4}\cdot\frac{2ty(y^3-1)}{3(1+t^2)}=-\frac{2t\left(1-y^{-3}\right)}{1+t^2}$

   于是

   $\frac{dv}{dt}-\frac{2t}{1+t^2}\,v=-\frac{2t}{1+t^2}$

   注意符号：$v$ 前面的系数是负的。在这里算成正号，是本题最高频的一处失误，而且会让最终答案彻底变样。

4. 4

   求积分因子。 由 $P(t)=-\dfrac{2t}{1+t^2}$ 得

   $\mu(t)=\exp\!\left(\int P\,dt\right)=\exp\left(-\ln\left(1+t^2\right)\right)=\frac{1}{1+t^2}$

   两边同乘之后，左端就并成了一个完整的导数：

   $\frac{d}{dt}\left(\frac{v}{1+t^2}\right)=-\frac{2t}{\left(1+t^2\right)^2}$

5. 5

   两边积分。 右端本身又是一次换元（令 $u=1+t^2$）：

   $\int-\frac{2t}{\left(1+t^2\right)^2}\,dt=\frac{1}{1+t^2}+C$

   于是 $\dfrac{v}{1+t^2}=\dfrac{1}{1+t^2}+C$，也就是

   $v=1+C\left(1+t^2\right)$

6. 6

   换回 $y$ 并验算。 由于 $v=y^{-3}$，

   $\frac{1}{y^{3}}=1+C\left(1+t^{2}\right)\quad\Longrightarrow\quad y=\left[1+C\left(1+t^{2}\right)\right]^{-1/3}$

   取 $C=0.7$、$t=1.7$ 做数值检验：左端 $3(1+t^2)y'=-1.60448567$，右端 $2ty(y^3-1)=-1.60448567$。$\checkmark$（$C=0$ 时正好回到平衡解 $y\equiv1$。）