求导并化简：y = arcsin(x⁴)，也写作 y = sin⁻¹(x⁴)。

Step-by-step solution

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   认出这是复合函数，选对法则的搭配。 外层函数是反正弦，内层函数是 $u=x^{4}$，所以要把反正弦的求导公式和链式法则配合起来用。注意这里的 $\sin^{-1}$ 表示反正弦（arcsin），不是 $1/\sin$——这个记号确实是常见的误解来源。

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   把反正弦的导数写成链式法则的形式。 若 $y=\sin^{-1}(u)$，其中 $u$ 是 $x$ 的函数，则

   $\frac{dy}{dx}=\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}$

   这里 $u=x^{4}$。

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   对内层函数求导。 由幂函数求导法则，

   $u'=\frac{d}{dx}\left(x^{4}\right)=4x^{3}$

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   代入，并化简根号里的式子。 把 $u=x^{4}$ 和 $u'=4x^{3}$ 代进公式，

   $\frac{dy}{dx}=\frac{4x^{3}}{\sqrt{1-\left(x^{4}\right)^{2}}}=\frac{4x^{3}}{\sqrt{1-x^{8}}}$

   这里最关键的一步化简是 $\left(x^{4}\right)^{2}=x^{4\cdot 2}=x^{8}$，不是 $x^{16}$，也不是 $x^{6}$。

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   交代定义域并做数值验证。 这个表达式要求 $1-x^{8}>0$，即 $-1<x<1$；它正好是 $\sin^{-1}(x^{4})$ 的定义域去掉两个端点——在端点处导数会趋于无穷。对 $\sin^{-1}(x^{4})$ 取 $h=10^{-6}$ 作中心差商，在 $x=0.3$ 处得 $0.10800354$，在 $x=0.7$ 处得 $1.41334288$，在 $x=-0.5$ 处得 $-0.50097943$，与 $4x^{3}/\sqrt{1-x^{8}}$ 在这三点上都吻合到小数点后八位。