求 x 在 0 ≤ z ≤ 3 且 x² + y² ≤ z 所确定的立体区域上的三重积分。

Step-by-step solution

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   先把这个立体描述清楚。 不等式 $x^2 + y^2 \le z$ 说明点落在抛物面 $z = x^2 + y^2$ 的内部，这个抛物面从原点开口向上。再用 $z = 3$ 把它截住，就得到一个碗状立体，它在高度 $z$ 处的横截面是半径为 $\sqrt{z}$ 的圆盘 $x^2 + y^2 \le z$。

2. 2

   检验区域关于 x 是否对称。 把 $x$ 换成 $-x$，两个定义条件都纹丝不动，因为里面出现的只有 $x^2$：

   $(-x)^2 + y^2 = x^2 + y^2 \le z$

   所以 $(x, y, z) \in E \iff (-x, y, z) \in E$：这个立体关于平面 $x = 0$ 对称。这一步检验必不可少——区域一旦不对称，这条捷径就不成立了。

3. 3

   检验被积函数关于 x 的奇偶性。 被积函数是 $f(x,y,z) = x$，而

   $f(-x, y, z) = -x = -f(x,y,z)$

   所以它关于 $x$ 是奇函数。奇的被积函数在该变量方向上对称的区域上积分必为零，因为每个点都能和一个取值相反的镜像点配成一对。

4. 4

   不用算就能下结论。

   $\iiint_E x\,dV = 0$

   $x > 0$ 那一半的正贡献，恰好被 $x < 0$ 那一半的负贡献抵消干净。

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   还是把柱坐标下的积分列出来印证一下。 取 $x = r\cos\theta$、$dV = r\,dz\,dr\,d\theta$：

   $\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\sqrt{3}}\!\!\int_{r^2}^{3} r^2\cos\theta\,dz\,dr\,d\theta$

   关于 $\theta$ 的那层可以提出来单独算：$\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0$，于是不管径向和竖直方向算出什么，整个乘积都是零。答案一样，现在从代数上也得到了确认。（同样的道理可知 $\iiint_E y\,dV = 0$、$\iiint_E xyz\,dV = 0$，而 $\iiint_E z\,dV$ 则确实不为零。）