求 x²y² 在抛物面 x² + y² = 2z 内部、平面 z = 2 与 z = 8 之间那块立体上的三重积分。

Step-by-step solution

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   先在柱坐标下描述这块立体。 曲面 $x^2+y^2=2z$ 是开口向上的抛物面，即 $z=\tfrac{r^2}{2}$。「在抛物面内部」意味着 $r^2\le 2z$，所以在高度 $z$ 处水平截出的是一个半径为 $\sqrt{2z}$ 的圆盘：

   $2\le z\le 8,\qquad 0\le r\le \sqrt{2z},\qquad 0\le\theta\le 2\pi$

   按 $z$ 切片（而不是把 $z$ 放到最后积）正是让上下限保持简单的关键——每个横截面都是一个完整的圆盘。

2. 2

   换写被积函数与体积元。 由 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ 得

   $x^2y^2=r^4\cos^2\theta\sin^2\theta,\qquad dV=r\,dr\,d\theta\,dz$

   所以被积式中总共凑出 $r^5$ 这个幂次：

   $\iiint_E x^2y^2\,dV=\int_2^8\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\sqrt{2z}} r^5\cos^2\theta\sin^2\theta\,dr\,d\theta\,dz$

   漏掉雅可比因子 $r$ 是最常见的错误，那样这里就只剩 $r^4$ 了。

3. 3

   把角向因子分离出来。 上下限里没有任何一处依赖 $\theta$，所以这个三重积分可以拆成对 $\theta$ 的积分与对 $(r,z)$ 的积分之积。利用 $\cos\theta\sin\theta=\tfrac12\sin 2\theta$，

   $\cos^2\theta\sin^2\theta=\frac{\sin^2 2\theta}{4}=\frac{1-\cos 4\theta}{8}$

   $\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\sin^2\theta\,d\theta=\frac{1}{8}\left[\theta-\frac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{2\pi}=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}$

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   先做径向积分，再做对 $z$ 的积分。 固定 $z$ 时，

   $\int_0^{\sqrt{2z}} r^5\,dr=\frac{(2z)^3}{6}=\frac{8z^3}{6}=\frac{4z^3}{3}$

   再在 $2\le z\le 8$ 上积分：

   $\int_2^8 \frac{4z^3}{3}\,dz=\frac{4}{3}\left[\frac{z^4}{4}\right]_2^8=\frac{1}{3}\left(4096-16\right)=1360$

5. 5

   把两个因子相乘，并对量级做个粗查。

   $\iiint_E x^2y^2\,dV=1360\cdot\frac{\pi}{4}=340\pi\approx 1068.1$

   符号是对的：被积函数 $x^2y^2$ 恒不为负，结果必须是正数。量级也说得通——这块立体装在一个半径为 $4$、高为 $6$ 的圆柱里，其中 $x^2y^2\le r^4/4\le 64$，于是上界约为 $64\cdot\pi\cdot 16\cdot 6\approx 19300$，比 $340\pi$ 大出不少，完全合理。