求 sin(x) 的麦克劳林级数，展开到 7 次项为止。

Step-by-step solution

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   先把各阶导数在 $x=0$ 处的循环列出来。 正弦的导数以 $4$ 为周期重复，所以系数按四步一轮的规律出现：

   $\sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad -\sin 0=0,\quad -\cos 0=-1,\quad \text{然后重复}$

   也就是说 $f^{(n)}(0)$ 依次循环取 $0,1,0,-1$。

2. 2

   把这些值代进麦克劳林公式。 由 $f(x)=\sum_{n\ge 0}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$，所有偶数阶导数都为零，只剩下奇次幂：

   $\sin x=\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

   没有偶次项并非巧合——$\sin(-x)=-\sin x$ 说明它是奇函数，而奇函数的展开式里只能有奇次项。

3. 3

   把阶乘算出来。

   $3!=6,\qquad 5!=120,\qquad 7!=5040$

   $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+O\!\left(x^9\right)$

4. 4

   写出通项。 用闭式表示，

   $\sin x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$

   它对每个实数 $x$ 都收敛——收敛半径是无穷大，因为 $(2k+1)!$ 迟早会超过任何固定的幂。

5. 5

   估一估精度。 在 $x=1$ 弧度处，截断后的值是

   $1-\frac16+\frac{1}{120}-\frac{1}{5040}=0.8414682\ldots$

   而 $\sin 1=0.8414710$，误差约为 $2.7\times 10^{-6}$——与下一个被丢掉的项 $\tfrac{x^9}{9!}=\tfrac{1}{362880}\approx 2.76\times 10^{-6}$ 相当。交错级数的余项估计保证了误差绝不会超过第一个被丢掉的项。