已知分段函数 f 满足：当 x ≤ −2 时 f(x) = x + 7a，当 −2 < x < 1 时 f(x) = 7ax + b，当 x ≥ 1 时 f(x) = x − 7b。求使 f 连续的 a 与 b 的值。

Step-by-step solution

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   先弄清连续性到底可能在哪里出问题。 三个分支各自都是多项式，在自己管辖的范围内处处连续。会出问题的只可能是 $x=-2$ 和 $x=1$ 这两个分界点——公式恰好在那里发生切换。在分界点连续，意味着左极限、右极限和函数值三者相等；在这里它就归结为让相邻的两个公式在该点取值一致。两个分界点给出两个方程，正好对上两个未知数。

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   写出 $x=-2$ 处的衔接条件。 $x=-2$ 归第一个分支管，所以 $f(-2)=-2+7a$。中间那个分支提供右极限：

   $\lim_{x\to -2^{+}}f(x)=7a(-2)+b=-14a+b$

   令两者相等：

   $-2+7a=-14a+b\ \Longrightarrow\ 21a-b=2\ \Longrightarrow\ b=21a-2$

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   写出 $x=1$ 处的衔接条件。 中间分支提供左极限，而 $x=1$ 归第三个分支管：

   $\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=7a+b,\qquad f(1)=1-7b$

   令两者相等：

   $7a+b=1-7b\ \Longrightarrow\ 7a+8b=1$

4. 4

   用代入法解这个二元一次方程组。 把 $b=21a-2$ 代进 $7a+8b=1$：

   $7a+8(21a-2)=1\ \Longrightarrow\ 7a+168a-16=1\ \Longrightarrow\ 175a=17\ \Longrightarrow\ a=\frac{17}{175}$

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   回代求 $b$ 并约分。 用 $b=21a-2$，其中 $21\cdot 17=357$：

   $b=\frac{357}{175}-2=\frac{357}{175}-\frac{350}{175}=\frac{7}{175}=\frac{1}{25}$

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   用精确分数在两个衔接点上验算。 取 $a=\tfrac{17}{175}$、$b=\tfrac{1}{25}$：在 $x=-2$ 处，左边分支给出 $-2+7a=-\tfrac{33}{25}$，中间分支给出 $-14a+b=-\tfrac{33}{25}$；在 $x=1$ 处，中间分支给出 $7a+b=\tfrac{18}{25}$，右边分支给出 $1-7b=\tfrac{18}{25}$。两组都以分数形式精确相等，所以 $f$ 处处连续。