求 x 趋于正无穷时 sinh x 除以 √(cosh 2x) 的极限。

Step-by-step solution

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   先把记号翻译过来，并看清类型。 $\operatorname{sh}x=\sinh x = \tfrac{e^x-e^{-x}}{2}$，$\operatorname{ch}(2x)=\cosh 2x = \tfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}$。当 $x\to\infty$ 时两者都趋于无穷，所以这个商是 $\tfrac{\infty}{\infty}$ 型 —— 在比出增长速度之前，它是未定的。

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   把分子里占主导的指数提出来。 $\sinh x = \frac{e^x}{2}\left(1-e^{-2x}\right).$ 这样就把增长部分（$e^x$）和一个趋于 $1$ 的括号分开了。

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   根号底下照做一遍。 $\cosh 2x = \frac{e^{2x}}{2}\left(1+e^{-4x}\right) \Longrightarrow \sqrt{\cosh 2x} = \frac{e^{x}}{\sqrt2}\sqrt{1+e^{-4x}}.$ 开平方把指数减半，所以分母同样按 $e^x$ 增长 —— 两边速度相当，这正是极限既有限又非零的原因。

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   约掉公共因子。 $\frac{\sinh x}{\sqrt{\cosh 2x}} = \frac{\frac{e^x}{2}(1-e^{-2x})}{\frac{e^x}{\sqrt2}\sqrt{1+e^{-4x}}} = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{1-e^{-2x}}{\sqrt{1+e^{-4x}}}.$

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   对剩下的部分取极限。 当 $x\to+\infty$ 时 $e^{-2x}\to0$、$e^{-4x}\to0$，所以那个分式趋于 $\tfrac{1}{1}=1$，于是 $\lim_{x\to+\infty}\frac{\operatorname{sh}x}{\sqrt{\operatorname{ch}2x}} = \frac{\sqrt2}{2} = \frac{1}{\sqrt2} \approx 0.70711.$

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   换恒等式的路子再走一遍，并配一个数值检查。 由于 $\cosh 2x = 1+2\sinh^2 x$，这个商等于 $\sinh x/\sqrt{1+2\sinh^2x} \to 1/\sqrt2$（当 $\sinh x\to\infty$ 时）—— 结论一致。在 $x=30$ 处直接算得 $0.7071067812$。