求 y = 3 sin(4x³ + 5) · √(5(4x + 5/x)) 的导数。

Step-by-step solution

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   先给两个因子起个名字，乘积法则才看得见。 这个函数是一个乘积，而不是单纯的一层复合，所以要从 $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$ 出发，取 $u=3\sin(4x^3+5),\qquad v=\sqrt{5\left(4x+\frac5x\right)}.$ 而每个因子本身又都是复合函数，所以这两个导数各自还要再用一次链式法则。

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   用链式法则求正弦那个因子的导数。 内层函数 $f(x)=4x^3+5$ 的导数是 $f^{\prime}(x)=12x^2$，于是 $u^{\prime}=3\cos(4x^3+5)\cdot 12x^2=36x^2\cos(4x^3+5).$

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   再求根式那个因子的导数。 把 $v$ 写成 $v=g(x)^{1/2}$，其中 $g(x)=5\left(4x+\frac5x\right)=20x+\frac{25}{x}$。于是 $g^{\prime}(x)=20-\frac{25}{x^2}$，再由 $\left(g^{1/2}\right)^{\prime}=\frac{g^{\prime}}{2\sqrt{g}}$ 得 $v^{\prime}=\frac{20-\frac{25}{x^2}}{2\sqrt{5\left(4x+\frac5x\right)}}.$

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   用乘积法则拼装起来。 把这四块代入 $y^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$，得到 $y^{\prime}=36x^2\cos(4x^3+5)\sqrt{5\left(4x+\frac5x\right)}+\frac{3\sin(4x^3+5)\left(20-\frac{25}{x^2}\right)}{2\sqrt{5\left(4x+\frac5x\right)}}.$

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   说清楚结果在哪些地方有效。 $5/x$ 这一项要求 $x\ne 0$，根号则要求 $5\left(4x+\frac5x\right)\ge 0$；后者对每个 $x>0$ 都成立，但在负半轴的一部分上不成立。而在根号内为零的地方，根式又落在分母上，所以那里导数同样不存在。