求 (x⁴ − 3x² + 5)/x 关于 x 的不定积分。

Step-by-step solution

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   别急着上换元。 分母只是一个单项式，说明这个分式可以干净地拆开；先拆开，一个别扭的商就变成了三个标准积分。这里用换元或分部积分都是白费力气。

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   把分子每一项都除以 $x$。 $\frac{x^4-3x^2+5}{x}=\frac{x^4}{x}-\frac{3x^2}{x}+\frac5x=x^3-3x+\frac5x.$

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   多项式部分套幂函数法则。 $\displaystyle\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}$，$\displaystyle\int -3x\,dx=-\frac{3x^2}{2}$。

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   $5/x$ 这一项用对数法则。 幂函数法则在指数为 $-1$ 时失效，所以改用 $\displaystyle\int\frac5x\,dx=5\ln|x|$。绝对值不能省，因为原被积函数在 $x$ 为负时同样有定义。

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   拼起来，再求导验证。 $\int\frac{x^4-3x^2+5}{x}\,dx=\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+5\ln|x|+C.$ 求导得到 $x^3-3x+\frac5x$，正是化简后的被积函数，说明结果没错。