求 tan(x)/(1 + x²) 的麦克劳林级数，展开到 x⁷ 项为止。

Step-by-step solution

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   用级数相乘，而不是反复求导。 直接算 $f^{(7)}(0)$ 会苦不堪言。改用两个现成的级数相乘，只保留次数 $\le 7$ 的项：

   $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+O\!\left(x^9\right)$

   $\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+O\!\left(x^8\right)$

   第二个就是几何级数 $\sum(-1)^n x^{2n}$，在 $|x|<1$ 上成立。

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   注意只有奇次幂能留下来。 $\tan x$ 是奇函数，$\dfrac{1}{1+x^2}$ 是偶函数，两者之积是奇函数——所有偶次项的系数必然为零。这一下把计算量减半，同时提供了一个现成的自检手段。

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   先收集 $x^3$ 与 $x^5$ 的系数。 把正切级数的每一项与几何级数的每一项相乘，再按次数归并：

   $[x^3]:\; 1\cdot(-1)+\frac13\cdot 1=-\frac23$

   $[x^5]:\; 1\cdot 1+\frac13\cdot(-1)+\frac{2}{15}\cdot 1=\frac{15-5+2}{15}=\frac{12}{15}=\frac45$

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   再收集 $x^7$ 的系数。 有四个乘积会贡献到这一项：

   $[x^7]:\;1\cdot(-1)+\frac13\cdot 1+\frac{2}{15}\cdot(-1)+\frac{17}{315}\cdot 1$

   通分到 $315$：$\dfrac{-315+105-42+17}{315}=\dfrac{-235}{315}=-\dfrac{47}{63}$。

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   拼出级数并做数值检验。

   $\frac{\tan x}{1+x^2}=x-\frac{2}{3}x^3+\frac{4}{5}x^5-\frac{47}{63}x^7+O\!\left(x^9\right)$

   取 $x=0.1$，截断后的级数给出 $0.09934125873$，而 $\tan(0.1)/1.01=0.09934125949$——吻合到小数点后 $8$ 位，正是 $O(x^9)$ 余项所预示的精度 $\checkmark$。