解微分方程 (x + y + 1) dx + (2x + 2y + 5) dy = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   动手之前先检验是否恰当。 记 $M=x+y+1$，$N=2x+2y+5$。则

   $\frac{\partial M}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2$

   两者不相等，所以方程不是恰当方程，没有现成的位势函数可以直接读出来。

2. 2

   注意结构上的线索。 两个系数都只是 $x+y$ 这一个组合的函数：

   $M=(x+y)+1,\qquad N=2(x+y)+5$

   只要方程对 $x$ 和 $y$ 的依赖全都通过 $x+y$，换元 $u=x+y$ 就能把它化成关于 $u$ 与 $x$ 的可分离变量方程。

3. 3

   换元。 令 $u=x+y$，于是 $y=u-x$，$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du}{dx}-1$。把原方程两边除以 $dx$ 并解出 $y'$，

   $\frac{dy}{dx}=-\frac{x+y+1}{2x+2y+5}=-\frac{u+1}{2u+5}$

   于是

   $\frac{du}{dx}-1=-\frac{u+1}{2u+5}\ \Longrightarrow\ \frac{du}{dx}=\frac{2u+5-(u+1)}{2u+5}=\frac{u+4}{2u+5}$

4. 4

   分离变量，并把假分式拆开。 把含 $u$ 的都挪到一边，

   $\frac{2u+5}{u+4}\,du=dx,\qquad \frac{2u+5}{u+4}=\frac{2(u+4)-3}{u+4}=2-\frac{3}{u+4}$

   改写成「多项式加真分式」的形式，左边才积得出初等表达式。

5. 5

   两边积分。

   $\int\left(2-\frac{3}{u+4}\right)du=\int dx\ \Longrightarrow\ 2u-3\ln|u+4|=x+C$

6. 6

   回代并整理。 把 $u=x+y$ 代回去，

   $2(x+y)-3\ln|x+y+4|=x+C\ \Longrightarrow\ x+2y-3\ln|x+y+4|=C$

7. 7

   用隐函数求导验证。 对 $F=x+2y-3\ln|x+y+4|$，

   $F_{x}=1-\frac{3}{x+y+4},\qquad F_{y}=2-\frac{3}{x+y+4}$

   而且 $F_{x}N-F_{y}M=0$ 恒成立（在 $(0.5,1.2)$、$(2,-0.3)$ 和 $(-1,3)$ 处数值验算到机器精度），所以 $F$ 的等值线正是解曲线。等价地，$F_{x}/M=F_{y}/N=\dfrac{1}{x+y+4}$，这说明换元背后藏着的积分因子就是 $\mu=\dfrac{1}{x+y+4}$。