设 f 是闭区间 0 到 π/2 上的正值连续函数，且 e 的 f(x) 次方乘 sin x 乘 ln f(x) 的积分、以及 e 的 f(x) 次方乘 cos x 乘 ln f(x) 的积分都等于 0。证明：开区间内存在一点 x₁ 使 f(x₁) = 1。

Step-by-step solution

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   把结论改写成关于 $\ln f$ 的说法。 因为 $f>0$，复合函数 $g(x)=\ln f(x)$ 在整个区间上有定义且连续，并且

   $f(x_1)=1\iff g(x_1)=0.$

   于是要证的就是 $g$ 在 $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ 内有零点。把「取到值 $1$」转化成「有根」，正是为了能用介值定理。

2. 2

   看清权函数的符号。 在开区间 $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ 上有 $\sin x>0$，而指数函数处处为正，所以 $e^{f(x)}>0$。因此权函数

   $w(x)=e^{f(x)}\sin x$

   在 $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ 上严格为正，被积函数 $w(x)g(x)$ 的符号完全由 $g$ 决定。

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   用介值定理作反证。 假设 $g$ 在 $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ 上没有零点。一个在区间上无零点的连续函数不可能变号——若它既取到正值又取到负值，介值定理就会逼出中间的一个零点。所以要么 $g>0$ 恒成立，要么 $g<0$ 恒成立。

4. 4

   由 $I_1=0$ 导出矛盾。 第一种情形下，开区间上 $w g>0$，被积函数连续且严格为正，于是

   $I_1=\int_0^{\pi/2}w(x)g(x)\,dx>0.$

   第二种情形同理给出 $I_1<0$。两种情形都有 $I_1\ne0$，与条件矛盾。因此 $g$ 必在 $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ 内取零，即存在 $x_1$ 使 $f(x_1)=1$。$\blacksquare$

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   说明第二个条件是干什么用的。 证明只用到 $I_1=0$；条件 $I_2=0$ 始终没派上用场，因为在 $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ 上 $\cos x>0$，$I_2$ 携带的信息与 $I_1$ 完全相同，任一个积分单独就足以推出结论。真正关键的是权函数在开区间上保持同号——把 $\sin x$ 换成在 $\pi/4$ 处变号的 $\cos 2x$，论证立刻失效：这时取常数 $f\equiv e$ 就有 $\int_0^{\pi/2}e^{e}\cos 2x\,dx=0$，而 $f$ 处处都不等于 $1$。