一辆汽车在时刻 t 的加速度为 a(t) = t^2 - 2t + 3 米每二次方秒。若它在 t = 1 时的速度是 8 米每秒，求它在 t = 3 时的速度。

Step-by-step solution

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   用加速度与速度之间的关系。 加速度是速度的导数，即 $a(t)=v'(t)$，所以由微积分基本定理，速度在一段区间上的改变量就是 $a$ 的定积分：

   $v(3)-v(1)=\int_1^3 a(t)\,dt$

   盯着改变量做（而不是先求出带一个未知常数的 $v$），好处是初始条件能干净利落地留到最后再用。

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   对这个多项式逐项求原函数。

   $\int\left(t^2-2t+3\right)dt=\frac{t^3}{3}-t^2+3t$

   不需要加常数，因为这个原函数接下来要在上下限之间取差。

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   代入上限 $t=3$。

   $\frac{27}{3}-9+9=9$

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   代入下限 $t=1$。

   $\frac{1}{3}-1+3=\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}$

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   相减得到速度的改变量。

   $\int_1^3 a(t)\,dt=9-\frac{7}{3}=\frac{27-7}{3}=\frac{20}{3}\ \text{m/s}$

6. 6

   加上初速度。

   $v(3)=v(1)+\frac{20}{3}=8+\frac{20}{3}=\frac{24+20}{3}=\frac{44}{3}\approx 14.67\ \text{m/s}$

   顺手做个合理性检查：$a(t)$ 在 $[1,3]$ 上始终介于 $2$ 与 $6$ 之间，所以速度的增量必然落在 $4$ 到 $12$ m/s 之间——而 $\tfrac{20}{3}\approx 6.67$ 确实落在里面。