已知 x 趋于 0 时 a·(2 + e^(1/x))/(1 + e^(1/x)) + (1 + |x|)^(1/x) 的极限存在，求 a 的值。

Step-by-step solution

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   先看清麻烦出在双侧极限上。 $e^{1/x}$ 和 $|x|$ 在 $0$ 的两侧表现都不一样，所以极限存在当且仅当右极限与左极限相等。分别算出两侧，再逼着它们相等就行。

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   右侧：$x\to 0^{+}$。 此时 $\frac1x\to+\infty$，于是 $e^{1/x}\to+\infty$，并且 $\frac{2+e^{1/x}}{1+e^{1/x}}\to 1$（分子分母同除以 $e^{1/x}$）。又因为 $|x|=x$，第二项是 $(1+x)^{1/x}\to e$。于是 $L_{+}=a+e$。

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   左侧：$x\to 0^{-}$。 现在 $\frac1x\to-\infty$，于是 $e^{1/x}\to 0$，并且 $\frac{2+e^{1/x}}{1+e^{1/x}}\to\frac{2}{1}=2.$ 又因为 $|x|=-x$，第二项是 $(1-x)^{1/x}$。令 $t=-x\to 0^{+}$，得 $(1+t)^{-1/t}\to e^{-1}$。于是 $L_{-}=2a+\dfrac1e$。

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   令两个单侧极限相等。 $a+e=2a+\frac1e\ \Longrightarrow\ a=e-\frac1e.$

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   核对一下公共的极限值。 取 $a=e-\tfrac1e\approx 2.35040$，右极限是 $a+e\approx 5.06868$，左极限是 $2a+\tfrac1e\approx 4.70081+0.36788\approx 5.06868$。两者完全一致，所以对这个 $a$ 极限确实存在，而且再没有别的 $a$ 可以。