计算 2x − 2yz 在区域 E 上的三重积分，其中 2 ≤ x ≤ 3，0 ≤ y ≤ 2x − 2，0 ≤ z ≤ −2x + 4y − 4。给出精确值。

Step-by-step solution

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   固定 x 和 y，先对 z 积分。 把上限记作 $Z=-2x+4y-4$，则 $\int_0^{Z}(2x-2yz)\,dz=2xZ-yZ^2$。这一步只有 $z$ 在动，所以 $2x$ 积出 $2xZ$，$-2yz$ 积出 $-yZ^2$。

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   代入上限并展开。 把 $Z=4y-2x-4$ 代进去，内层结果展开成 $-16y^3+16xy^2+32y^2-4x^2y-8xy-16y-4x^2-8x$。此刻就彻底展开，比把 $Z$ 揣着不动带进下一层积分要稳妥得多。

3. 3

   对 y 从 0 积到 2x − 2。 逐项求原函数后代入 $y=2x-2$，得到最外层的被积函数 $-\frac{88}{3}x^4+\frac{616}{3}x^3-528x^2+\frac{1600}{3}x-\frac{544}{3}$，它可以分解为 $-\frac{8}{3}(x-1)\left(11x^3-66x^2+132x-68\right)$。

4. 4

   对 x 求原函数。 $\int\left(-\frac{88}{3}x^4+\frac{616}{3}x^3-528x^2+\frac{1600}{3}x-\frac{544}{3}\right)dx=-\frac{88}{15}x^5+\frac{154}{3}x^4-176x^3+\frac{800}{3}x^2-\frac{544}{3}x$。

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   从 x = 2 代到 x = 3。 原函数作差得 $-\frac{466}{5}$，也就是 $-93.2$。结果为负，是因为在这个楔形区域的大部分地方 $-2yz$ 那一项占了上风。

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   数值验算。 在同样的积分限上做嵌套自适应数值积分，返回 $-93.200000$，与 $-\frac{466}{5}=-93.2$ 在小数点后六位上一致。

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   特别当心对 y 那一步的算术。 网上流传较广的一份解答给出的是 $-\frac{4868}{45}\approx -108.2$；这个值过不了数值验算，错误恰恰出在把展开后的 $y$ 的原函数代入 $y=2x-2$ 的时候。