解微分方程 dy/dx = 2y − x。

Step-by-step solution

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   先化成一阶线性方程的标准形。 把含 $y$ 的项移到左边，写成 $y'+P(x)y=Q(x)$ 的样子：

   $\frac{dy}{dx}-2y=-x,\qquad P(x)=-2,\quad Q(x)=-x$

2. 2

   构造积分因子。

   $\mu(x)=e^{\int P\,dx}=e^{\int-2\,dx}=e^{-2x}$

   它的作用就是把左边凑成一个单独的导数，正是这一步把微分方程变成了纯粹的积分运算。

3. 3

   两边同乘积分因子，认出乘积的导数。

   $e^{-2x}\frac{dy}{dx}-2e^{-2x}y=-xe^{-2x}\quad\Longrightarrow\quad\frac{d}{dx}\left(ye^{-2x}\right)=-xe^{-2x}$

4. 4

   右边用分部积分。 取 $u=x$、$dv=-e^{-2x}dx$，于是 $du=dx$、$v=\tfrac12 e^{-2x}$：

   $\int -xe^{-2x}\,dx=\frac{x}{2}e^{-2x}-\int\frac{1}{2}e^{-2x}\,dx=\frac{x}{2}e^{-2x}+\frac{1}{4}e^{-2x}+C$

5. 5

   解出 $y$ 并验证。 两边同乘 $e^{2x}$：

   $y=Ce^{2x}+\frac{x}{2}+\frac{1}{4}$

   检验：$y'=2Ce^{2x}+\tfrac12$，而 $2y-x=2Ce^{2x}+x+\tfrac12-x=2Ce^{2x}+\tfrac12$ $\checkmark$。对任意 $C$ 两者都相等；其中 $\tfrac{x}{2}+\tfrac14$ 是特解，$Ce^{2x}$ 是齐次方程的通解部分。