设 f 在整个 R 上二阶可导。是否对每个 ξ 都存在 x1、x2 使得 f′(ξ) = (f(x2) − f(x1))/(x2 − x1)？请证明或举出反例。

Step-by-step solution

1. 1

   先认清这是中值定理的逆命题，而不是中值定理本身。 中值定理说的是：每一个割线斜率都等于某个导数值。这里问的恰好反过来：每个导数值是不是都能被某条割线的斜率取到。真命题的逆命题需要单独证明——或者被一个反例推翻。

2. 2

   找出障碍在哪里。 由微积分基本定理，任何割线斜率都是导数的平均值：

   $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}f'(t)\,dt$

   $f'$ 在一个长度为正的区间上的平均值，绝不会超过 $f'$ 的上确界；而且只有当 $f'$ 在这段区间上恒等于常数时，才可能取到上确界。所以，只要 $f'$ 在某个孤立点 $\xi$ 处取到严格最大值，那么 $f'(\xi)$ 这个值就永远当不成割线斜率。

3. 3

   给出反例。 取

   $f(x)=\arctan x,\qquad f'(x)=\frac{1}{1+x^{2}},\qquad f''(x)=\frac{-2x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}$

   这个 $f$ 在整个 $\mathbb{R}$ 上二阶可导（其实是无穷次可导），符合题目要求。

4. 4

   说明 f′(0) = 1 这个值取不到。 对任意 $x_1<x_2$，

   $\frac{\arctan x_2-\arctan x_1}{x_2-x_1}=\frac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}\frac{dt}{1+t^{2}}<\frac{1}{x_2-x_1}\int_{x_1}^{x_2}1\,dt=1$

   这个不等号是严格的，因为对一切 $t\neq 0$ 都有 $\tfrac{1}{1+t^{2}}<1$，而孤立的一个点不足以让两个积分相等。所以没有任何一条割线的斜率能达到 $1=f'(0)$。

   $\boxed{\text{命题不成立；}f(x)=\arctan x\text{ 取 }\xi=0\text{ 即为反例}}$

5. 5

   用数值感受一下。 $\arctan$ 的割线斜率里最大的那些，来自跨过 $0$ 的短区间：对 $[-h,h]$，斜率是 $\tfrac{2\arctan h}{2h}=\tfrac{\arctan h}{h}$，$h=0.1$ 时等于 $0.9967$，$h=0.01$ 时等于 $0.99997$——不断逼近 $1$，却始终够不着。

6. 6

   再说说命题什么时候是成立的。 如果 $f'$ 在 $\xi$ 处取的这个值并非孤立极值——比如 $f'$ 单调，或者 $f'(\xi)$ 严格落在 $\inf f'$ 与 $\sup f'$ 之间——那么把介值定理用在割线斜率这个函数上，确实能找到合适的 $x_1,x_2$。失效的情形只出现在 $f'$ 取严格全局极值的那些点上。