求使函数 f 在 x = 1 处连续的 a、b、c 的值，其中 x > 1 时 f(x) = (a x² − x − 1)/(x − 1)，f(1) = b，x < 1 时 f(x) = −x + c。

Step-by-step solution

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   先说清「在一点连续」究竟要求什么。 三个量必须都存在，而且彼此相等：

   $\lim_{x\to1^-}f(x)=f(1)=\lim_{x\to1^+}f(x)$

   三段函数带着三个未知数，这正好给出所需的三个方程。从约束最强的一段入手——也就是右边那一段。

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   先逼着右极限有限，这一步定下 $a$。 当 $x\to1^+$ 时分母 $x-1\to0$。如果分子不同时趋于 $0$，这个商就会冲到 $\pm\infty$，那么 $b$ 和 $c$ 取什么都救不回连续性。所以必须有

   $a(1)^2-1-1=0\quad\Longrightarrow\quad a-2=0\quad\Longrightarrow\quad a=2.$

   比如取 $a=3$，分子 $\to1$ 而分母 $\to0^+$，结果是 $+\infty$：怎么补都没用。

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   约去公因式，再求极限。 取 $a=2$ 后，由于 $x=1$ 是根，分子可以分解：

   $2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)$

   $\lim_{x\to1^+}\frac{(2x+1)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1^+}(2x+1)=3$

   这里可以放心约分，因为极限只关心 $x\neq1$ 的情形，那时 $x-1\neq0$。

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   让该点的函数值对上，这一步定下 $b$。 连续性要求 $f(1)$ 等于上面那个极限：

   $b=3.$

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   让左极限对上，这一步定下 $c$。 左边那一段是多项式，极限就等于函数值：

   $\lim_{x\to1^-}(-x+c)=-1+c$

   $-1+c=3\quad\Longrightarrow\quad c=4.$

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   验证三个量确实相等。 取 $a=2$、$b=3$、$c=4$：左极限是 $-1+4=3$，函数值是 $f(1)=3$，右极限是 $2(1)+1=3$。三者相等，所以 $f$ 在 $x=1$ 处连续。数值上 $f(0.999)=3.001$、$f(1.001)=3.002$，正如预期地从两侧收敛到 $3$。