求 f(x) = x * cos(x + 3) + 7 的导数。

Step-by-step solution

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   先把函数拆成几部分。 求导具有线性，所以可以把 $x\cos(x+3)$ 与常数 $7$ 分开处理。任何常数的导数都是 $0$，所以 $+7$ 什么也不贡献 —— 它只是把图像整体上下平移，并不改变任何一点的斜率。

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   对第一项列出乘法法则。 取 $u = x$，$v = \cos(x+3)$：

   $\frac{d}{dx}\left[uv\right] = u'v + uv'$

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   分别对两个因子求导。 $u' = 1$。对 $v$ 用链式法则得

   $v' = -\sin(x+3)\cdot\frac{d}{dx}(x+3) = -\sin(x+3)\cdot 1 = -\sin(x+3)$

   内层导数是 $1$，因为括号里只是一个平移；若换成 $\cos(3x+3)$，就会多出一个因子 $3$。

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   拼出导数。

   $f'(x) = 1\cdot\cos(x+3) + x\left(-\sin(x+3)\right) = \cos(x+3) - x\sin(x+3)$

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   取方便的点验证。 在 $x = -3$ 处括号里的值为 $0$，于是 $f'(-3) = \cos 0 - (-3)\sin 0 = 1$。以步长 $10^{-6}$ 对 $f$ 在 $x = -3$ 处作中心差商，结果同样是 $1.000000$。在 $x = 0$ 处：$f'(0) = \cos 3 = -0.989992$，与数值导数六位小数吻合。