计算 (e^x sin y − xy) dx + (xy + e^x cos y) dy 沿圆 x² + y² = 4 右半部分、按 y 增大方向的曲线积分。

Step-by-step solution

1. 1

   先确定路径和它的两个端点。 $x^2+y^2=4$ 的右半部分从 $(0,-2)$ 经 $(2,0)$ 到 $(0,2)$。按 $y$ 增大的方向，就是从 $(0,-2)$ 出发、在 $(0,2)$ 结束。端点在哪里很重要，因为被积表达式里有一部分待会儿会证明与路径无关。

2. 2

   参数化之前先检验是否为恰当（全微分）形式。 取 $P=e^x\sin y-xy$、$Q=xy+e^x\cos y$，

   $P_y=e^x\cos y-x,\qquad Q_x=y+e^x\cos y.$

   两者不相等，所以这个场不是保守场，整个积分并非与路径无关。但不相等的部分只出在 $-xy$ 与 $xy$ 这两项上。

3. 3

   把恰当的那部分拆出来。 注意到

   $d\!\left(e^x\sin y\right)=e^x\sin y\,dx+e^x\cos y\,dy,$

   所以这两项构成一个全微分，只与端点有关：

   $\int_L e^x\sin y\,dx+e^x\cos y\,dy=\Big[e^x\sin y\Big]_{(0,-2)}^{(0,2)}=\sin 2-\sin(-2)=2\sin 2.$

4. 4

   把剩下的部分参数化。 对 $\displaystyle\int_L -xy\,dx+xy\,dy$，令 $x=2\cos t$、$y=2\sin t$，$t$ 从 $-\tfrac{\pi}{2}$ 到 $\tfrac{\pi}{2}$（这样既保证 $x\ge 0$，又让 $y$ 递增，与要求的方向一致）。于是 $dx=-2\sin t\,dt$、$dy=2\cos t\,dt$、$xy=4\sin t\cos t$：

   $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(8\sin^2 t\cos t+8\sin t\cos^2 t\right)dt.$

5. 5

   先用奇偶性，再作换元。 $\sin t\cos^2 t$ 在对称区间上是奇函数，积分为 $0$。另一项令 $u=\sin t$：

   $8\int_{-1}^{1}u^2\,du=8\cdot\frac{2}{3}=\frac{16}{3}.$

6. 6

   把两部分加起来。 曲线积分等于

   $\frac{16}{3}+2\sin 2\approx 7.1519,$

   与直接对参数化积分做数值计算的结果在小数点后五位上一致。