Calculus questions asked by real students

Real calculus questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.

1/(2x+1) の原始関数と F(0)=0 から値を求める

F(x) = (1/2)ln(2x+1) で F((e^2−1)/2) = 1。u = 2x+1 と置換し、F(0)=0 で積分定数を消し、2x+1 がちょうど e^2 になることを使う。

極座標で2つの円にはさまれた図形の面積を求める

x² + y² = 7y と x² + y² = 9y の間の領域を y = x/√3 と x = 0 で切り取った面積は 8π/3 + 2√3 ≈ 11.84。極座標の面積積分の立て方から計算まで順に見る。

(x²−1)/(x²−3x+2) の不連続点を分類する

x = 1 は除去可能な不連続点で (1, −2) に穴があき、x = 2 は除去不可能で垂直漸近線になる。分子と分母を因数分解し、どの因子が約分されるかを見る。

奇関数の対称性と半円の面積で解く定積分

この定積分の値はちょうど π。x^3 cos(x/2) の部分は奇関数なので 0 になり、残りは半径 2 の円の面積のちょうど半分にあたる。

x³−3x²+2x の導関数と [0, 3] での定積分

導関数は 3x² − 6x + 2 で、0 から 3 までの定積分は 9/4。まず微分の公式、次に微分積分学の基本定理で符号付き面積を求める。

対数微分法で (x − 1)^x を微分する

導関数は x > 1 において (x − 1)^x [ln(x − 1) + x/(x − 1)]。指数法則も指数関数の公式も使えないので、まず両辺の自然対数をとる。

原点を中心とする双曲線群の微分方程式を求める

x²/a² − y²/b² = 1 から a と b を消去すると xy y″ + x(y′)² − y y′ = 0 になる。2回微分し、2つの関係式を割ることで定数を一度に消す。

長方形領域上での x² − 8y の重積分

−2 ≤ x ≤ −1、0 ≤ y ≤ 1 の長方形上で x² − 8y の重積分を計算する。積分範囲が定数の累次積分を1ステップずつ追う。

y = 2 sin x の下側の領域での xy² の重積分

この重積分は 16π/9 = 5.585。先に y で積分して (8/3)x sin³x にし、3倍角の公式で sin³x を直してから部分積分する。

三角形領域での x·cos(x + y) の重積分

頂点 (0,0)、(π,0)、(π,π) の三角形上で x cos(x + y) の重積分を計算する。0 ≤ y ≤ x という範囲から厳密値 −3π/2 ≈ −4.712 が得られる。

2つの放物線にはさまれた領域での重積分

y = 4x² − 9 と y = 9 − 4x² で囲まれた領域上で 9y + 4x の重積分を計算する。積分範囲を求めたあと、対称性を使えば答えは即座に出る。

区分的に定義された関数を連続にする a, b, c

答えは a = 2、b = 3、c = 4。極限が有限になるには x = 1 で分子が 0 になる必要があり、因数分解すると極限は 3、左側の −x + c もそれに一致させる。

積分因子で dy/dx + 2y = e^(−x) を解く

一般解は y = e^(−x) + Ce^(−2x)。積分因子 e^(2x) を掛けると左辺が積の微分の形になり、1回積分して割り戻せばよい。

勾配ベクトルと方向 (0, −1) への方向微分

f = x^2 y + x e^(−xy) について、方向 (0, −1) への方向微分は −x^2(1 − e^(−xy))。つまり y に関する偏微分の符号を変えたものになる。

(mx − 4)/(x − m) が増加になる整数 m は何個か

答えは m = −1 と m = 0 の2個。導関数 (4 − m^2)/(x − m)^2 から m^2 < 4 が必要で、漸近線 x = m が (0, ∞) の外になければならず −2 < m ≤ 0 となる。

x²e^x の積分：部分積分を2回使う

答えは e^x(x^2 − 2x + 2) + C。u = x^2 と選ぶと1回ごとに次数が下がる理由、2回必要な理由、微分して検算する方法を示す。

ラプラス変換とデルタ関数：y'' − y = 4δ(t−2) + t²

解は y(t) = 2e^t − t^2 − 2 + 4u(t−2)sinh(t−2)。撃力を e^(−2s) に変換し、部分分数分解で分けてから項ごとに逆変換する。

ラプラス変換で積分微分方程式を解く

y′(t) − 2∫₀ᵗ y(τ)sin(t−τ)dτ = 1、y(0) = −1 を解く。畳み込み定理で積分が積に変わり、y(t) = −1/2 − ½e^(−t/2)cos(√7t/2) + … が得られる。

[2, 5] を6分割した左端・右端リーマン和

f(x) = 2x^2 − x − 1 の [2, 5] における左端和は 55、右端和は 74.5。この区間で f は増加なので、厳密な面積 64.5 を上下から挟む。

無限大での f(f(x)) の極限：(3 + √x)/(4√x)

f(x) は 1/4 に、f(f(x)) は 7/4 に収束する。分数を分けて内側の極限を求め、連続性を使ってその極限で外側の関数を評価する。

x → ∞ での ln(1 + 2^x) ln(1 + 2/x) の極限

極限は 2 ln 2、およそ 1.386。片方は x ln 2 のように増大し、もう片方は 2/x のように減るので、∞ × 0 の積がちょうど釣り合う。

リーマン和の極限を定積分として計算する

極限は 98/3 = 32.667。リーマン和から a、b、f(x) を読み取る方法を学ぶ。2/n が幅を、3 + 2i/n が [3, 5] 上の右端を与える。

x → 2 での (√(3x−2) + √(x−1) − 3)/(x²−4) の極限

極限は 5/16。分子を2つの共役のペアに分ける方法と、0/0 の不定形にロピタルの定理を1回使う方法の2通りで求める。

円 x²+y²=4 の右半分に沿う線積分

答えは 16/3 + 2 sin 2。完全微分の部分を切り分けて端点だけで評価し、残りを x = 2cos t、y = 2sin t で媒介変数表示する。

64 のまわりの1次近似で 62.5 の立方根を求める

f(x) = (64 + x)^(1/3) を x = 0 で線形化すると L(x) = 4 + x/48 となり、62.5 の立方根は約 3.96875。厳密値 3.968503 との差は 0.00025 である。

ベクトルの外積の混合2階偏微分

答えは −k。A × B = 3yz i − 4xz j − xy k と展開し、x で1回微分して −4z j − y k を得て、さらに y で微分すると定ベクトル −k が残る。

ニュートンの冷却の法則：90℃のコーヒーが30℃になるまで

20分後のコーヒーは48.9℃で、30℃になるのは約44分後。10分後に65℃という測定値から k = (1/10)ln(14/9) = 0.04418 を決める。

cos(√(a − x²)) = 1 の解がちょうど8個になる a

答えは 36π² < a < 64π²。4π²k² < a を満たす k がそれぞれ解を1組ずつ生むので、そのような k がちょうど4個必要で、端点は取れない。

根号を含む商の対数の偏導関数

z = ln((x − √(x^2−y^2))/(x + √(x^2−y^2))) の偏導関数は z_x = −2/√(x^2−y^2)、z_y = 2x/(y√(x^2−y^2))。導出と数値による確認も示す。

積分順序を交換して e^(y³) を積分する

値は (e^8 − 1)/6。e^(y^3) は y について初等的な原始関数をもたないので dx dy に交換し、内側の積分で置換に必要な y^2 を作り出す。

級数 Σ n/3^n は収束するか：比判定法と和

この級数は収束する。比判定法で L = 1/3 < 1 となり、等差×等比の和の公式から厳密値 3/4 が得られる。根拠を1ステップずつ示す。

y = √(9x² − 6x + 3) の斜め漸近線

x → +∞ での斜め漸近線は y = 3x − 1 で、曲線はその上側にある。平方完成して (3x − 1)² + 2 の形にし、共役をかける手法を使う。

円錐と回転放物面にはさまれた領域での x の三重積分

値は π/12。x 軸まわりの円柱座標を使うと、2つの曲面は r = 1 で交わり、立体は x = r^2 から x = r まで、dV = r dx dr dθ となる。

単位球体上での x² + y² + z² の三重積分

値は 4π/5、およそ 2.5133。球面座標では被積分関数が ρ^4 sin φ になり、3つの積分は 2π × 2 × 1/5 に分離する。

平面で囲まれた領域上での三重積分を計算する

入れ子の不等式で表された領域上で 2x − 4yz の三重積分を計算する。答えは −268。各積分範囲がどう代入されるかを dz dy dx の順に示す。

x = 2 で区分関数を連続にする a の値

a = 2。つなぎ目で連続にするには、左側 x^2 + 2x − 3 の極限 5 が右側の値 2a + 1 と等しくなければならず、2a + 1 = 5 となる。

y = x² + 5 を x 軸まわりに回転した立体の体積

y = x² + 5 の下の領域を x = 0 から x = 5 まで x 軸まわりに回転すると V = 3500π/3 ≈ 3665.19。円板法の立式から計算まで順に示す。

y = e^x を底面とする正方形断面の立体の体積

体積は (e^6 − 1)/2 = 201.21。各正方形の1辺が e^x になるので、体積の積分は 0 から 3 までの e^(2x) の積分になる。