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Calculus questions asked by real students

Real calculus questions asked by students, solved step by step Every question below was submitted by a real student and answered step by step.

3cos 2x = 2ln(x − 1) の解：3 つの数値解

解はちょうど 3 つで、x ≈ 1.28378、2.49096、3.58430 である。x = 1 + e^1.5 ≈ 5.48 を超えると対数の項が 3 を上回るため、それ以上の交点は生じない。

ẋ = 4t x² を変数分離で解く（x ≡ 0 も忘れずに）

解は x(t) = 1/(C − 2t²) と、定数解 x ≡ 0 である。x² で割る操作が後者を落としてしまうので、分離したあとに必ず取り戻す。導出と検算まで示す。

減衰余弦 f(x) = e^(−αx)·cos x を調べる

f(0) = 1、振動の周期は 2π、包絡線は y = ±e^(−αx) である。α の符号が、振れが減衰するか、一定に保たれるか、発散するかを決める。

半角の公式を使って cos²x を積分する

原始関数は x/2 + sin(2x)/4 + C。cos²x を (1 + cos 2x)/2 に書き換えると 2 乗が消え、積の積分ではなく初等的な積分 2 つに分かれる。導関数は −sin 2x。

1/(Dⁿ + Ka)^(1/n) を超幾何関数で積分する

原始関数は D(Ka)^(−1/n) ₂F₁(1/n, 1/n; 1 + 1/n; −Dⁿ/Ka) + C。Ka を括り出して二項級数に展開し、項別に積分する。n = 2 のときだけ arcsinh に帰着する。

置換 u = ln x で sin(a ln x)/x^b を積分する

結果は x^(1−b)[(1−b)sin(a ln x) − a cos(a ln x)]/((1−b)² + a²) + C。置換 u = ln x によって、指数関数×サインという定型の積分に変わる。

1/(2x+1) の原始関数と F(0)=0 から値を求める

F(x) = (1/2)ln(2x+1) で F((e^2−1)/2) = 1。u = 2x+1 と置換し、F(0)=0 で積分定数を消し、2x+1 がちょうど e^2 になることを使う。

放物線 y = x² と直線 y = x + 2 が囲む面積

2 曲線は x = −1 と x = 2 で交わり、その区間で (x + 2) − x² を積分すると、囲まれた面積はちょうど 9/2 平方単位になる。

重積分で y = 4x − x² と y = x の間の面積を求める

面積は 9/2。交点 x = 0 と x = 3 を求め、y が x から 4x − x² まで動く 1 の重積分を立て、短冊の高さ 3x − x² を積分する。

極座標で2つの円にはさまれた図形の面積を求める

x² + y² = 7y と x² + y² = 9y の間の領域を y = x/√3 と x = 0 で切り取った面積は 8π/3 + 2√3 ≈ 11.84。極座標の面積積分の立て方から計算まで順に見る。

x が 3 から 5 まで変化するときの y = x³ の平均変化率

平均変化率は 49。(f(5) − f(3))/(5 − 3) = (125 − 27)/2 を計算する。これは 3 次関数上の 2 点を結ぶ割線の傾きである。

バーゼル問題：n = 1 から無限大までの 1/n² の和

和は π²/6、およそ 1.644934。p = 2 の p 級数として収束し、オイラーは sin(x)/x を根で因数分解して厳密値を突き止めた。

置換 v = y^−3 で 3(1+t²)y′ = 2ty(y³−1) を解く

解は y³ = 1/(1 + C(1+t²))。置換 v = y^−3 によってこのベルヌーイ型は 1 階線形微分方程式になり、積分因子は 1/(1+t²) となる。

x = 0 における (1 − x)^k のテイラー級数：二項級数

答えは Σ(−1)ⁿ C(k,n) xⁿ = 1 − kx + k(k−1)x²/2! − …（|x| < 1 で有効）。マイナスの符号はすべて、二項展開に −x を代入したことから生じる。

(x²−1)/(x²−3x+2) の不連続点を分類する

x = 1 は除去可能な不連続点で (1, −2) に穴があき、x = 2 は除去不可能で垂直漸近線になる。分子と分母を因数分解し、どの因子が約分されるかを見る。

i = 1 から n までの e^(1 + 2i/n) の和を閉じた形で表す

和は e^(1 + 2/n)(e² − 1)/(e^(2/n) − 1) に等しい。各項は前の項の e^(2/n) 倍なので、有限等比級数の公式がそのまま使える。

グリーンの定理より (eʸ+x)dx + (xeʸ−2y)dy の閉曲線積分は 0

答えは 0。グリーンの定理で ∂Q/∂x − ∂P/∂y の二重積分に直すと、2 つの偏導関数がともに eʸ に等しく被積分関数が消えるため、閉じた経路の形は結果に影響しない。

Σ sin(nx)/(n ln n) が x = 0 で連続であることの証明

N = ⌊1/x⌋ で分割する。頭部は |sin nx| ≤ nx により 1/(√N ln 2) + 2/ln N で抑えられ、尾部はアーベルの総和法で 2π/ln(N + 1) 以下。x → 0 で両方 0 に収束する。

Σ 1/(1 + n ln²n) は収束するか：判定と値

ベルトラン級数 1/(n ln²n) との比較により収束する。初等的な閉じた形はなく、和は約 2.4919——短い部分和が示唆する 2.42 ではない。

Σ ln(1 + (−1)ⁿ/nᵅ) をテイラー展開で判定する

α > 1 で絶対収束、1/2 < α ≤ 1 で条件収束、0 < α ≤ 1/2 で発散。境界を決めるのは ln(1+x) の 2 次の項である。

sin x sin y/(x+y)^p の二重積分の収束

p > 2 で絶対収束、1 < p ≤ 2 で条件収束、p ≤ 1 で発散。置換 u = x + y とディリクレの判定法で解く。

y = x³/3 + x² − 8x + 1 の臨界値を y′ の因数分解で求める

臨界値は x = −4 と x = 2 で、小さいほうは −4。微分すると y′ = x² + 2x − 8 となり、(x + 4)(x − 2) と因数分解して解く。

y = −2x²eˣ の増減と極限を調べる

この曲線は x 軸より上には決して出ず、(−2, −8/e²) 約 −1.083 で極小、原点で極大、x → −∞ では下から 0 に近づく。

0 から 2π までの 1 の定積分を求める

答えは 2π、約 6.2832。定数 1 の積分は区間の長さを測るので、結果は上端から下端を引いた値そのものになる。

1.62482e^(−x/12.72238) + 2.85422 を 0 から 300 まで積分する

答えは 876.93843 ではなく 876.93758。e^(−23.58) が無視できるので減衰項の寄与は a·k = 20.67158、定数項の寄与は 856.266 である。

π/8 から π/12 までの sin²x cos⁴x の積分（上下端が逆）

値は (7 − π − 3√3 − 2√2)/384 ≈ −0.010849。負になるのは下端 π/8 が上端 π/12 より大きく、符号が反転するからにすぎない。

0 から 1 までの √(x − x⁴) の積分をベータ関数で求める

答えは π/6、約 0.5235988。置換 u = x³ により積分はベータ関数 B(1/2, 3/2)/3 になり、ガンマ関数の値からちょうど π/6 にまとまる。

f(x) = x を 0 から 4 まで積分する（べき乗の公式）

定積分の値は 8。x の原始関数 x²/2 を 4 と 0 で評価し、直線 y = x の下にできる三角形の面積で確かめる。

(x²cos(x/2) + ½)√(4 − x²) の −2 から 2 の積分（ベッセル）

厳密値は π + 16π(J₂(1) − J₃(1)) = 7.9339103333。定数 ½ の部分は半円の面積 π を与え、x²cos(x/2) の部分はベッセルモーメントで初等的には表せない。

x²e^(−x) を 0 から 1 まで部分積分 2 回で求める

厳密値は 2 − 5/e ≈ 0.160603。部分積分を 2 回行うと多項式の次数が 2 から 0 に落ち、原始関数 −(x²+2x+2)e^(−x) が得られる。

0 から 1 までの x² + 3 の定積分をべき乗の公式で求める

答えは 10/3、約 3.3333。項ごとに積分して x³/3 + 3x とし、基本定理を適用する。1 での値は 10/3、0 での値は 0 である。

0 から 2 までの x² sin x の定積分を厳密な形で求める

値は 4 sin 2 − 2 cos 2 − 2、約 2.4695。積分区間の端が π の倍数でないので、正弦と余弦の項は消えずに残る。

0 から π までの x² sin x の定積分を部分積分 2 回で求める

値は π² − 4、約 5.8696。u = x² とする部分積分で次数が x に下がり、もう 1 回で終わる。正弦の項は両端で消える。

奇関数の対称性と半円の面積で解く定積分

この定積分の値はちょうど π。x^3 cos(x/2) の部分は奇関数なので 0 になり、残りは半径 2 の円の面積のちょうど半分にあたる。

f′(x) = f(x − 1) をランベルト W 関数で解く

指数関数解は f(x) = C e^(rx) で、r e^r = 1 すなわち r = W(1) ≈ 0.567143。1 単位の遅れがあるために特性方程式が超越方程式になる。

x³−3x²+2x の導関数と [0, 3] での定積分

導関数は 3x² − 6x + 2 で、0 から 3 までの定積分は 9/4。まず微分の公式、次に微分積分学の基本定理で符号付き面積を求める。

y = 2cos x の定義域と導関数を求める

定義域は実数全体、導関数は y′ = −2sin x。定数 2 は微分をそのまま通り抜け、余弦を微分すると −正弦になる。

10x³ − x² + 4x − 15 を微分し y′ = 0 を解く

y′ = 30x² − 2x + 4 で、判別式が 1 − 120 = −119 < 0 なので y′ = 0 は実数解を持たず、この曲線はどこにも水平な接線を持たない。

2e^(3x) を微分する：合成関数の微分で 3 が出る

導関数は 6e^(3x)。指数関数は微分しても自分自身、合成関数の微分が内側の導関数 3 を与え、定数 2 はそのまま付いてくる。

定義に戻って d/dx(2x³ − 1) = 6x² を示す

答えは 6x²。(x+h)³ を展開し、定数項を打ち消して h で割ると 6x² + 6xh + 2h² が残り、h → 0 の極限は 6x² になる。

h(x) = (2x + 1)⁵(x² − 1)³ を積と合成関数の微分で求める

導関数は 10(2x+1)⁴(x²−1)³ + 6x(2x+1)⁵(x²−1)²、選択肢 B。合成関数の微分がそれぞれ内側の導関数 2 と 2x を与える。

h(x) = (2x + 1)⁵(x² − 1)³ を微分して因数分解する

導関数は h′(x) = 2(2x + 1)⁴(x² − 1)²(11x² + 3x − 5)。積の微分法を使い、各べきに合成関数の微分を当て、共通因子 (2x + 1)⁴(x² − 1)² をくくり出す。

3 sin(4x³+5)·√(5(4x+5/x)) を積の微分法で微分する

dy/dx = 36x² cos(4x³+5)√(5(4x+5/x)) + 3 sin(4x³+5)(20 − 25/x²)/(2√(5(4x+5/x)))。合成関数 2 つの積に積の微分法を当てて求める。

y = 5cos(3x²) を合成関数の微分で処理する

答えは dy/dx = −30x sin(3x²)。外側の余弦が中身をそのままにした −sin を、内側の 3x² が 6x を与え、そこに 5 が掛かる。

e^x ln(x²+1) / (√(sin x) + 2) を微分して整理する

商の微分法を使い、その内側で積の微分法を使う。分子の導関数は e^x(ln(x²+1) + 2x/(x²+1))、分母の導関数は cos x/(2√(sin x)) である。

y = arcsin(x⁴) を合成関数の微分で処理して整理する

導関数は 4x³/√(1 − x⁸)。逆正弦の公式が u = x⁴ に対して 1/√(1 − u²) を、合成関数の微分が 4x³ を与え、(x⁴)² は x⁸ になる。

arctan(e^(−a/2)) を合成関数の微分で求めて整理する

答えは dy/da = −e^(−a/2)/(2(1 + e^(−a))) = −e^(a/2)/(2(e^a + 1))。e^(−a/2) を 2 乗すると e^(−a) になることが、分母がきれいにまとまる理由である。

cos(√(2x + 1)) を合成関数の微分 2 回で求める

導関数は x > −1/2 において −sin(√(2x+1))/√(2x+1)。合成関数の微分を 2 回使い、内側から出る 2 がべき乗の公式の 1/2 と打ち消し合う。

e^(−x²)·sin(3x) の 1 階・2 階導関数

f′ = e^(−x²)(3cos3x − 2x sin3x)、f″ = e^(−x²)((4x²−11)sin3x − 12x cos3x)。積の微分法を 2 回使い、合成関数の微分が −2x と 3 を与える。

(e^x + 1)/x³ を商の微分法を使わずに微分する

答えは (e^x(x − 3) − 3)/x⁴。分数を (e^x + 1)x^(−3) と書き直すと、商の微分法の問題が短い積の微分法の問題になる。

ln(1 + x/(eπ)) を微分して 1/(x + eπ) に整理する

導関数は 1/(x + eπ)。合成関数の微分で (1/eπ) を (1 + x/(eπ)) で割る形になり、分子と分母に eπ を掛けると繁分数が解消する。

ln(3x²) の微分：答えが 2/x だけになる理由

導関数は 2/x。合成関数の微分で 6x/(3x²) となり定数 3 が約分される。ln(3x²) = ln 3 + 2 ln x という対数法則の予想どおりである。

ln(x + √(x² − a²)) を微分すると 1/√(x² − a²)

導関数は 1/√(x²−a²)。合成関数の微分で分子が (√(x²−a²)+x)/√(x²−a²) となり、かっこの中が対数の引数とそのまま約分される——これは arcosh の導関数である。

y = log(sin x) を合成関数の微分で処理すると cot x

y = log(sin x) の導関数は cot x。内側の関数を sin x として合成関数の微分を適用し、cos x / sin x を 1 つの余接にまとめる。

y = −(1/2)sin(3.14/3 − x²) を合成関数の微分で処理する

答えは y′ = x·cos(3.14/3 − x²)。内側の導関数は −2x で、2 つの負号が −1/2 と打ち消し合い、x の係数はちょうど 1 になる。

(1/4)x¹² + 3x⁶ − x + 10 をべき乗の公式で微分する

y′ = 3x¹¹ + 18x⁵ − 1。分数の係数 1/4 に指数 12 が掛かって 3 になり、定数項 10 は導関数に何も残さない。

(1/10)x⁵ + x⁴ + 3x − √3 をべき乗の公式で微分する

y′ = (1/2)x⁴ + 4x³ + 3。最高次の係数は 2 ではなく 5/10 = 1/2 になり、無理数の定数 √3 も他の定数と同じく微分すると 0 になる。

y = sin²x の微分：合成関数の微分で sin 2x になる

導関数は 2 sin x cos x で、2 倍角の公式により sin 2x と書き直せる。sin²x は (sin x)² と読み、外側の関数が 2 乗であることを押さえる。

f(t) = t·sin(3t) を積と合成関数の微分で処理する

導関数は f′(t) = sin(3t) + 3t·cos(3t)。積の微分法で仕事を 2 つに分け、内側の 3t から合成関数の微分が因子 3 を供給する。

1/0.3 の導関数：定数を微分すると 0 になる理由

導関数は 0。式 1/0.3 = 10/3 には変数が含まれないので定数関数であり、そのグラフは水平でどこでも傾きが 0 である。

f(3) = 5、f′(3) = 2 のとき逆関数 g の g′(5) を求める

g′(5) = 1/2。f(g(x)) = x を合成関数の微分で微分すると g′(x) = 1/f′(g(x)) となり、g(5) = 3 なので答えは f′(3) = 2 の逆数である。

f(x) = x·cos(x + 3) + 7 を積の微分法で微分する

導関数は cos(x+3) − x sin(x+3)。定数 7 は微分すると消え、x+3 の内側の導関数は 1 なので余分な因子は出ない。

x³ − 3x² + 2x をべき乗の公式で項ごとに微分する

導関数は 3x² − 6x + 2。べき乗の公式は指数を係数として前に下ろし、指数を 1 減らす。だから x³ → 3x²、−3x² → −6x、2x → 2 となる。

x³ + 2x² − 5x の導関数をべき乗の公式で求める

導関数は 3x² + 4x − 5。べき乗の公式を項ごとに当て、定数倍はそのまま残し、1 次の項の微分はその係数そのものになる。

対数微分法で (x − 1)^x を微分する

導関数は x > 1 において (x − 1)^x [ln(x − 1) + x/(x − 1)]。指数法則も指数関数の公式も使えないので、まず両辺の自然対数をとる。

f(x) = x/(x² + 1) を商の微分法で微分する

答えは (1 − x²)/(x² + 1)²。分子が (x²+1) − 2x² からまとまるので、導関数の符号はちょうど x = 1 と x = −1 で変わる。

y = x² / tan x を商の微分法で微分する

導関数は (2x tan x − x² sec²x)/tan²x。d/dx(tan x) = sec²x として商の微分法を適用し、結果を正弦と余弦で書き直す。

x²/2 + cos 5x を項ごとに合成関数の微分で処理する

f(x) = x²/2 + cos 5x の導関数は x − 5 sin 5x。2 次の項からは x が出て、cos 5x には合成関数の微分で因子 5 が符号反転とともに現れる。

x² の導関数をべき乗の公式で：なぜ 2x になるのか

答えは 2x。べき乗の公式 d/dx xⁿ = n·x^(n−1) に n = 2 を入れると 2x¹ となり、極限の定義からも確かめられる——残るのは 2xh の項である。

f(x) = 2x² − 3x + 4 の差分商を整理する

整理した差分商は 4x + 2h − 3。2(x + h)² を展開すると 4xh と 2h² が現れ、共通の h が分母と約分される。

f(x) = 8 − 11x の差分商はちょうど −11

差分商は −11 で、h は残らない。1 次関数の傾きが一定だから h がすべて約分される。これが計算の確認として役立つ。

Σ xⁿ⁻¹/n は x = 1 と x = −1 で微分可能か

x = 1 では調和級数になって発散するので微分可能性を問う以前である。x = −1 では ln 2 に収束し、片側微分係数は ln 2 − 1/2 ≈ 0.1931472 となる。

原点を中心とする双曲線群の微分方程式を求める

x²/a² − y²/b² = 1 から a と b を消去すると xy y″ + x(y′)² − y y′ = 0 になる。2回微分し、2つの関係式を割ることで定数を一度に消す。

8x⁵ − 3x⁻⁴ + 4/x − 9 をべき乗の公式で微分する

dy/dx = 40x⁴ + 12/x⁵ − 4/x²。各項をまず x のべきの形に直すので、べき乗の公式を一様に当てられ、2 つの負の指数で符号が反転する。

8x⁶ − 3x⁻⁴ + 4/x − 9 を項ごとに微分する

dy/dx = 48x⁵ + 12/x⁵ − 4/x²。4/x を 4x⁻¹ と書き直せばすべての項をべき乗の公式で処理でき、途中で負の指数により符号が 2 か所反転する。

e^(2x)·artanh(√(eˣ − 1)) を積の微分法で微分する

導関数は 2e^(2x)artanh(√(eˣ−1)) + e^(3x)/(2√(eˣ−1)(2−eˣ))。1 − z² が 2 − eˣ にまとまり、それが定義域 0 < x < ln 2 も決めている。

y = eˣ / (eˣ + e⁻ˣ)² を微分して整理する

答えは (3 − e^(2x))/(eˣ + e⁻ˣ)³。分母を負のべきとして扱うと、商の微分法よりすっきりした積と合成関数の計算になる。

y = x² をべき乗の公式で微分する

dy/dx = 2x。べき乗の公式 d/dx xⁿ = n·x^(n−1) で n = 2 とすると、もとの指数が係数になり、新しい指数は 1 に下がる。

速度 v(t) = t² + t から 1 ≤ t ≤ 2 の変位を求める

v(t) = t² + t を t = 1 から t = 2 まで積分すると変位は 23/6 メートル、約 3.83 m。この区間で速度は符号を変えない。

すべての f′(ξ) は割線の傾きになるか：arctan x が反例

f = arctan では f′(0) = 1 が f′ の狭義の最大値である。割線の傾きはどれも区間上の f′ の平均なので必ず 1 未満となり、値 1 は割線の傾きとして現れない。

単位正方形上での 1/(x+y+2) の二重積分

答えは 10 ln 2 − 6 ln 3 = 0.3397980736。x で積分すると ln(y+3) − ln(y+2) となり、各対数に原始関数 (y+a)ln(y+a) − (y+a) を当てる。

くさび形領域上での 14.1 − 11.515y の二重積分

答えは約 −33.0784。被積分関数に x が含まれないので内側の積分は幅 y/1.1015 を掛けるだけになり、y が [−1.65, 0] では負なので値も負になる。

三角形 x=4、y=−2、y=x 上での 4 − y の二重積分

値は 72。3 直線は (−2,−2)、(4,−2)、(4,4) で交わるので、y を −2 から x まで、続いて x を −2 から 4 まで積分すればちょうどこの三角形を覆う。

領域 x ≤ y ≤ 3 上での 2 − 2x − 2y の二重積分

答えは −8。内側の積分区間は y = x から y = 3 までなので内側の積分は 3x² − 8x − 3 を残し、1 ≤ x ≤ 2 で積分すると −8 になる。

単位正方形上で |xy − 1/4| を領域分割して積分する

答えは 3/32 + ln(2)/8 ≈ 0.180393。双曲線 xy = 1/4 が正方形を分け、1/(16x) の部分が最終的な値の対数を生む。

単位円板上での e^−(x²+y²) の二重積分を極座標で求める

答えは π(1 − 1/e) ≈ 1.9858。極座標にすると被積分関数は e^(−r²)·r となり、e^(−x²) に原始関数がなくても r についての原始関数は閉じた形で書ける。

単位正方形上での exp(−x² − y²) の二重積分を erf で表す

厳密値は (π/4)erf(1)² ≈ 0.55775。被積分関数が積に分かれるので、正方形上の積分は 1 次元ガウス積分の 2 乗になる——初等的な原始関数は不要である。

正方形 [0, 2π]² 上での sin x − cos y の二重積分は 0

値は 0。正方形の 1 辺は 2π でちょうど 1 周期なので ∫sin x dx も ∫cos y dy も消え、分離できる被積分関数の各項は 2π × 0 を寄与する。

単位正方形上での sin(x²) + cos(y²) の二重積分

値は 2 つのフレネル積分の和で、約 1.2148。どちらの部分も初等的な原始関数を持たないが、和は 2 つの 1 変数積分に分かれる。

単位正方形上での max(√(2x − x²), 1 − y) の二重積分

積分値は 5/6。置換 u = 1 − x、v = 1 − y により max は max(√(1 − u²), v) となり、正方形が 4 分円で分割される。

直角三角形上での x cos(x+y) の二重積分

答えは −3π/2。y を 0 から x まで積分すると x(sin 2x − sin x) となり、[0,π] 上の 2 つの積分はそれぞれ −π/2 と π になる。

2 本の平方根曲線に挟まれた領域での x·e^(−y²) の二重積分

積分値は 5/144。内側の x 積分により 2 曲線 x = √y/3 と x = √y/2 は因子 5y/72 に変わり、∫₀^∞ y e^(−y²) dy = 1/2 で仕上がる。

[−1,1]×[0,2] 上の ∬(x − 4y) は −16（x の部分が消える）

値は −16。[−1,1] が 0 について対称なので x の積分は 0 になり、残るのは −8y を 0 から 2 まで積分したものだけである。

[−1,2]×[0,1] 上の ∬(x − 4y) はどちらの順序でも −9/2

値は −9/2。x を先に積分すると 3/2 − 12y が残り、それを y で積分すると −4.5 になる。フビニの定理により順序を入れ替えても同じ結果になる。

正方形 [0, 2]² 上での (x/8)(x² + xy) の二重積分

値は 5/3。まず x/8 を分配して被積分関数を単項式の和にし、y、x の順に積分する。定数 1/8 はこれを同時密度に関する積分にしている。

円弧で囲まれた領域の二重積分の順序を入れ替える

積分値は 1 − √2/2、約 0.292893。順序を入れ替えると領域は y 方向の 2 つの切片に分かれ、極座標なら同じ値が 1 行で確認できる。

y = x と 2y = x² に挟まれた領域での x/(x² + y²) の二重積分

積分値は ln 2。y で積分すると逆正接になり、積分区間の端で arctan 1 − arctan(x/2) にまとまって、部分積分 1 回で仕上がる。

扇形の円環領域上での x + 2y の二重積分を極座標で

値は (7/6)(√2 − 2) ≈ −0.6834。極座標に直し、x ≤ 0 と y ≥ x の共通部分から π/2 〜 5π/4 のくさびを得て、r² と角度を積分する。

2 つの円弧に挟まれた領域での x + xy の二重積分

答えは π/6 − √3/8 + 5/48、約 0.411259。x(1 + y) と因数分解して x で積分すると √(1−y²) − 1/2 となり、あとは逆正弦の標準的な原始関数を使う。

デカルトの葉線 x³ + y³ = 3xy のループ上の二重積分

値は 4π/√3 − 3π/2、約 2.5428。極形式では r が約分され、θ だけの積分が残り、3 乗の和の公式でまとまる。

長方形 [−2,−1]×[0,1] 上での x² − 8y の二重積分

答えは −5/3。被積分関数は x² と −8y に分かれ、長方形上ではそれぞれ変数分離できて 7/3 − 4 = −5/3 となる。

y = x² と y = 2 − x に挟まれた領域での x² + y² の二重積分

積分値は 149/105、約 1.4190。0 ≤ x ≤ 1 では放物線がつねに直線の下にあるので、y を先に積分すれば区間が単純なままである。

単位正方形上での x² + y² の二重積分

答えは 2/3。対称性から 2 つの項の寄与は等しくそれぞれ 1/3 なので、0≤x≤1、0≤y≤1 上の積分は 2/3 になる。

[0, π]² 上での xy·sin(xy²) の二重積分を置換で求める

値は π/2 − sin(π³)/(2π²) ≈ 1.59097。内側の積分はきれいな置換積分で、u = xy² とすると xy dy がちょうど du/2 になり sin(xy²) が余弦にまとまる。

[−2,0]×[0,5π/2] 上での xy e^(x²y) の二重積分

答えは 5π/4 + 1/8 − e^(10π)/8。置換 u = x²y により内側の x 積分は (1 − e^(4y))/2 になり、外側の積分は初等的である。

y = x² と y = 1 の間での y の二重積分は 4/5

答えは 4/5。−1 ≤ x ≤ 1 では縦の切片が y = x² から y = 1 まで伸び、内側の積分で (1 − x⁴)/2、外側の積分で 4/5 になる。

正方形上での x/√((R²+y²)(R²−x²)) の二重積分

答えは 0。被積分関数は分離でき、x の因子 x/√(R²−x²) は対称区間 [−R, R] 上の奇関数である。各半分は R に収束するので、和はちょうど 0 になる。

長方形領域上での x² − 8y の重積分

−2 ≤ x ≤ −1、0 ≤ y ≤ 1 の長方形上で x² − 8y の重積分を計算する。積分範囲が定数の累次積分を1ステップずつ追う。

y = 2 sin x の下側の領域での xy² の重積分

この重積分は 16π/9 = 5.585。先に y で積分して (8/3)x sin³x にし、3倍角の公式で sin³x を直してから部分積分する。

三角形領域での x·cos(x + y) の重積分

頂点 (0,0)、(π,0)、(π,π) の三角形上で x cos(x + y) の重積分を計算する。0 ≤ y ≤ x という範囲から厳密値 −3π/2 ≈ −4.712 が得られる。

2つの放物線にはさまれた領域での重積分

y = 4x² − 9 と y = 9 − 4x² で囲まれた領域上で 9y + 4x の重積分を計算する。積分範囲を求めたあと、対称性を使えば答えは即座に出る。

上端が文字の |r³ sin cos + r² sin/3| の二重積分

答えは 0 ≤ x ≤ π/2 において sin²(x)/128 + (1 − cos x)/72。r² sin(θ)(r cos θ + 1/3) と因数分解すれば被積分関数が非負だと分かり、絶対値を外せる。

tan²(0.661) を含む完全楕円積分を評価する

値は約 1.7865。根号の中がプラスなので母数は純虚数となり、負のパラメータで E(k) を使って数値的に評価する。

tan²(0.8) sin²(β) を含む楕円積分を評価する

値は約 1.928009。この積分は負のパラメータ m = −tan²(0.8) ≈ −1.06016 をもつ第 2 種完全楕円積分 E(m) である。

分母の次数が大きい分数関数の端での挙動

分母の次数が 6、分子が 3 しかないので、両端とも 0 に近づく。商は −1/(2x³) のようにふるまい、水平漸近線は y = 0 である。

ガンマ関数を含む級数を先頭の数項で求める：約 0.00118533

1/Γ(3/5) と Σ(1/10)^(8n/5+1)/Γ(8n/5+1) の積は約 0.00118533。効くのは最初の 3 項だけで、n = 4 以降は 10⁻¹⁰ を下回るため安心して打ち切れる。

5 つの極限を代入だけで求める：25、300、153、729、41

値は 25、300、153、729、41。ここではどの関数も目標の点で連続なので、極限はそのまま関数値になり、式変形は一切要らない。

(x+y+1)dx + (2x+2y+5)dy = 0 を u = x + y の置換で解く

一般解は x + 2y − 3ln|x + y + 4| = C。この方程式は完全形ではないが、係数がどちらも x + y だけの関数なので、u = x + y と置けば変数分離形になる。

dP/dt = 0.12P、初期 800 匹：5 年後 1458 匹、倍加時間 5.78 年

変数分離により P = 800e^(0.12t) が得られる。t = 5 では 800e^0.6 = 1458 匹となり、倍加時間 ln 2 / 0.12 = 5.78 年は初期個体数に依存しない。

(y′)² − 4x²y′ + 4x⁴ − x² を平方の差として因数分解する

(y′ − 2x² − x)(y′ − 2x² + x) と因数分解できる。前の 3 項が平方完成して (y′ − 2x²)² になるからで、各因数を積分すれば解の族が得られる。

3 つに分かれた関数が連続になる a と b を求める：a = 17/175、b = 1/25

値は a = 17/175、b = 1/25。x = −2 でつなぐと b = 21a − 2、x = 1 でつなぐと 7a + 8b = 1 となり、この連立を解けば両方が定まる。

区分的に定義された関数を連続にする a, b, c

答えは a = 2、b = 3、c = 4。極限が有限になるには x = 1 で分子が 0 になる必要があり、因数分解すると極限は 3、左側の −x + c もそれに一致させる。

x = 0 での 2 つの片側極限が一致する a を求める：a = e − 1/e

極限が存在するのは a = e − 1/e のときに限る。e^(1/x) を含む因子は右から 1、左から 2 に近づき、(1+|x|)^(1/x) は e と 1/e に近づく。

y′ + y/x = 18x + 4 の解における k、h、s を求める：6、2、1

k = 6、h = 2、s = 1。積分因子 x により方程式は (xy)′ = 18x² + 4x となり、xy = 6x³ + 2x² + C から解は 6x² + 2x − y + C/x = 0 に整理される。

積分因子で dy/dx + 2y = e^(−x) を解く

一般解は y = e^(−x) + Ce^(−2x)。積分因子 e^(2x) を掛けると左辺が積の微分の形になり、1回積分して割り戻せばよい。

2xy(y′)² + 2(x² + y²)y′ + 2xy = 0 を y′ の 2 次方程式として解く

y′ を未知数とみなすと判別式が完全平方 (x² − y²)² になり、y′ = −y/x または y′ = −x/y が得られ、解の族は xy = C₁ と x² + y² = C₂ になる。

下半球の内側を通る流束をガウスの発散定理で求める：8π

面積分の値は 8π。開いた半球に z = 0 の円板でふたをして発散定理を使い、円板ぶんの流束を引き、最後に内側向きに符号を反転する。

cos・sin・r² を含む R³ 上のガウス型三重積分

sin の項は奇関数の対称性で消え、cos の項は 3 次元ガウス関数のフーリエ変換、r² の項はガンマ積分になり、きれいな閉じた形が 2 つ残る。

ay″ + by = 0 を比 b/a の符号で場合分けして解く

b/a > 0 なら解は振動して C₁cos(√(b/a)x) + C₂sin(√(b/a)x)、b/a < 0 なら実指数関数の対、b = 0 なら直線 C₁x + C₂ になる。

x″ + kx = 0 の一般解を k の符号ごとに求める

答えは符号で分かれる。k > 0 なら √k·t の cos と sin、k = 0 なら直線 C₁t + C₂、k < 0 なら増大と減衰の指数関数になる。

y″ − ay′ + by = 0 を判別式の 3 つの場合で解く

特性方程式は r² − ar + b = 0。判別式 a² − 4b により、相異なる指数関数、x の因子つきの重解、減衰振動の 3 通りに分かれる。

勾配ベクトルと方向 (0, −1) への方向微分

f = x^2 y + x e^(−xy) について、方向 (0, −1) への方向微分は −x^2(1 − e^(−xy))。つまり y に関する偏微分の符号を変えたものになる。

f = 3x⁴yz³ の勾配の i、j、k 方向の成分

勾配は ⟨12x³yz³, 3x⁴z³, 9x⁴yz²⟩。各成分は 1 つの偏導関数であり、他の 2 変数を固定するので 1 変数のべき乗の公式で計算できる。

Σ(a₃ₙ₋₂+a₃ₙ₋₁+a₃ₙ) が収束し aₙ → 0 なら Σaₙ も収束する——真

3 個ずつまとめた和は部分和の部分列 S_3n である。aₙ → 0 なので S_3n+1 と S_3n+2 も同じ極限を持ち、部分和の列全体が収束する。

x³ + x²y + y³ = 7 の陰関数微分：dy/dx = −(3x² + 2xy)/(x² + 3y²)

答えは dy/dx = −(3x² + 2xy)/(x² + 3y²)。両辺を x で微分し、x²y には積の微分法、y³ には合成関数の微分法を使って dy/dx について解けばよい。

x sec y = 4y − y tan 2x の陰関数微分で dy/dx を求める

答えは dy/dx = (sec y + 2y sec² 2x)/(4 − tan 2x − x sec y tan y)。両辺とも積の微分法が要り、tan 2x の内側からは合成関数の微分法で 2 が出る。

20x²⁰y + y⁸ = 33 − 30x⁶ の陰関数微分で dy/dx を求める

答えは dy/dx = (−180x⁵ − 400x¹⁹y)/(20x²⁰ + 8y⁷)。20x²⁰y には積の微分法が必要で、微分された y はすべて dy/dx を残す。

全実数上の広義積分 ∫1/(2+2x²)² dx = π/8 ≈ 0.3926991

値は π/8、約 0.3926991。4 をくくり出すと標準的な積分 ∫1/(1+x²)² dx の 4 分の 1 になり、この積分は全実数上で π/2 に等しい。

∫₁^∞ dx/(x + √(x²−1))² = 1/3 と、下端が 0 にできない理由

値は 1/3。置換 x = cosh t によって x + √(x²−1) は eᵗ に変わる。被積分関数が実数であるためには下端は 0 ではなく 1 でなければならない。

広義積分 ∫₀¹ ln x dx = −1 の求め方

答えは −1。部分積分から原始関数 x ln x − x が得られ、下端 0 は a → 0⁺ での a ln a → 0 という極限で処理する。

広義積分 ∫₋∞⁰ dx/(3√((x−8)²)) は +∞ に発散する

マイナス無限大から 0 までの ∫ dx/(3√((x−8)²)) は +∞ に発散する。根号を 8 − x に直すと積分は対数になり、極限を取れば発散が分かる。

広義積分 ∫₀^∞ x·e^(−x²) dx = 1/2 の求め方

値はちょうど 1/2。u = x² と置換すると被積分関数は (1/2)e^(−u) になり、上端を大きくすると e^(−b²) が消えるので積分は収束する。

広義積分 ∫₋₁¹ x^(−2/3) dx = 6 の求め方

値は 6。x = 0 で被積分関数が発散するので積分をそこで分割する必要があるが、原始関数 3x^(1/3) は有限にとどまるため各半分は 3 に収束する。

∫1/(a − bx) dx の積分と、−1/b が出てくる理由

答えは −(1/b)ln|a − bx| + C。置換 u = a − bx では du = −b dx となるため、内側の傾きの逆数が符号のマイナスごと前に出てくる。

∫(2/x − 1/x²) dx = 2ln|x| + 1/x + C：べき乗則の2つの場合

答えは 2ln|x| + 1/x + C。指数 −1 は対数が必要だが −2 は通常のべき乗則で済むため、2 つの項はまったく違う振る舞いをする。

∫(3/x − 2/x²) dx = 3ln|x| + 2/x + C：対数とべき乗則の併用

答えは 3ln|x| + 2/x + C。x⁻¹ の項は対数という例外を要するが x⁻² は通常のべき乗則で処理でき、マイナスが2つ重なってプラスになる。

e^x/x の原始関数が初等関数にならない理由と指数積分 Ei(x)

答えは指数積分 Ei(x) + C。初等関数をどう組み合わせても微分して e^x/x にはならないので、特殊関数が本当に必要になる。

置換 u = −x² による ∫x e^(−x²) dx = −(1/2)e^(−x²) + C

原始関数は −(1/2)e^(−x²) + C。外側にある因子 x がちょうど du の半分にあたるため、この置換がぴったり閉じる。

無限積 ∏(1 + x/n²) の収束と ln P(x)/√x → π

1/n² の級数との比較でこの無限積はすべての x > 0 で収束し、その対数を √x で割った量は π に収束する。オイラーの sinh 積表示がこれを厳密にする。

(mx − 4)/(x − m) が増加になる整数 m は何個か

答えは m = −1 と m = 0 の2個。導関数 (4 − m^2)/(x − m)^2 から m^2 < 4 が必要で、漸近線 x = m が (0, ∞) の外になければならず −2 < m ≤ 0 となる。

三角置換を使わずに ∫(1 − u²)/(a − bu²)^(3/2) du を求める

答えは (b − a)u/(ab√(a − bu²)) + arcsin(u√(b/a))/(b√b) + C。u² を (a − (a − bu²))/b と書き直すと、積分が既知の2つの標準形に分かれる。

双曲線関数の置換による ∫dx/(√x √(x+1)) = 2 arsinh√x + C

答えは 2 arsinh√x + C、同じことだが 2 ln(√x + √(x+1)) + C。置換 x = sinh²t によって 2 つの根号が同時に消える。

∫dx/x が ln x + C ではなく ln|x| + C になる理由

原始関数は ln|x| + C。絶対値がないと x < 0 で式が定義されなくなるが、そこでも 1/x はまったく問題なく定義され積分できる。

逆数置換 x − 1 = 1/t による ∫dx/((x−1)√(−x²+2x+3))

置換 x − 1 = 1/t によって根号は √(4 − 1/t²) になり、積分は逆双曲線関数の標準形に帰着して −(1/2) ln|(2 + √(−x²+2x+3))/(x−1)| + C が得られる。

負の指数のべき乗則で ∫(1/x² − 1/(3√x)) dx を求める

原始関数は −1/x − (2/3)√x + C。まず両方の項を x^(−2) と (1/3)x^(−1/2) というべき乗の形に直し、それぞれ指数に 1 を足して割ればよい。

(1 + tan²y) dy の不定積分は tan y + C

答えは tan y + C。三角関数の相互関係により 1 + tan²y は sec²y に等しく、これはちょうど正接関数の導関数なので、実質的な計算は不要である。

分数を分けて求める ∫2/(1 − x²) dx = ln|(1 + x)/(1 − x)| + C

原始関数は ln|(1 + x)/(1 − x)| + C。1 − x² = (1 − x)(1 + x) なので被積分関数は 1/(1 − x) + 1/(1 + x) に分かれ、2 つの対数がまとまる。

u = 2^x + 4 と置換して ∫2^x (2^x + 4)^5 dx を求める

答えは (2^x + 4)^6 / (6 ln 2) + C。d(2^x) = 2^x ln2 dx なので、外にある因子 2^x は定数 ln2 を除けばちょうど必要な導関数になっている。

分数の指数に対するべき乗則で ∫25x^(3/2) dx = 10x^(5/2) + C

25x^(3/2) の積分は 10x^(5/2) + C。指数 3/2 に 1 を足して 5/2 とし、5/2 で割ることは 2/5 を掛けることと同じだと押さえればよい。

∫(4e^(2x) − sin2x) dx：内側の係数で割るのが要点

答えは 2e^(2x) + (1/2)cos(2x) + C。内側の係数 2 でそれぞれ割ることになり、sin2x の前のマイナスによって余弦の項は正になる。

∫₀^∞ arctan(x)/cosh(x) dx ≈ 1.09869 の評価

値はおよそ 1.09869。初等的な閉じた形は存在しないので、1/cosh x を交代する指数級数に展開し、結果を数値積分で裏付ける。

∫cos2x dx = (1/2)sin2x + C：なぜ 1/2 が付くのか

答えは (1/2)sin(2x) + C。微分して戻すと合成関数の微分法で 2 が掛かるので、原始関数はその逆数 1/2 を前に持っていなければならない。

置換 u = 5sin x + 2 による ∫cos x · sin(5sin x + 2) dx

sin x の導関数が cos x なので、u = 5sin x + 2 とおくと du = 5cos x dx となり、積分は (1/5)∫sin u du にまで潰れる。

全実数上の ∫e^(iωx) dω は 2πδ(x) に等しい

通常の広義積分としては発散するが、超関数としては 2πδ(x) に等しい。±A で打ち切ると 2sin(Ax)/x となり、いつまでも振動し続けるが弱収束の意味で 2πδ(x) に収束する。

∫e^(−x²) dx に誤差関数が必要になる理由

結果は (√π/2)erf(x) + C。初等的な原始関数は存在しないので積分は erf を通して定義され、その 2/√π という因子はここで打ち消される。

不完全ガンマ関数で ∫e^(−x)·x^3.102378 dx を表す

原始関数は γ(4.102378, x) + C、同じことだが −Γ(4.102378, x)。指数が整数でないため部分積分が閉じず、答えは特殊関数になる。

オイラー和で ∫₀¹ ln⁴x·ln(1−x)/(x(1−x)) dx = 12ζ(3)² − 2π⁶/45

値は 12ζ(3)² − 2π⁶/45、およそ −25.3891。核を分割して級数展開し、オイラー和 ΣH(m)/m⁵ を閉じた形で評価すればよい。

部分積分と Li₂ で仕上げる ∫ln(x)arctan(x) dx

部分積分すると初等的でない部分 ln(1+x²)/x が残り、これは −Li₂(−x²)/2 に等しい。したがって完全な原始関数には二重対数関数が必要になる。

∫−8cos(0.8t²) dt はフレネル余弦積分になる

初等的な原始関数は存在しない。標準形に尺度変換すると −2√(10π)·C(√(8/(5π))·t) + C₁ となる。ここで C(x) はフレネル余弦積分である。

不完全ガンマ関数で ∫dx/((x + 1)(ln x)^a) を表す

初等的な原始関数は存在しない。u = ln x と置換して 1/(1 + e^(−u)) を展開すると、(ln x)^(1−a)/(1 − a) にガンマ関数 Γ(1 − a, n ln x) の級数を加えた形になる。

奇数乗の余弦を1つ切り離して ∫sin²x cos³x dx を求める

余弦を1つ切り離し、残りを cos²=1−sin² で書き換えてから u = sin x と置換すると、原始関数 sin³(x)/3 − sin⁵(x)/5 + C が得られる。

置換 u = 4cos x による ∫sin x/sin²(4cos x) dx = (1/4)cot(4cos x) + C

答えは (1/4)cot(4cos x) + C。置換 u = 4cos x により被積分関数は −(1/4)csc²(u) に変わり、その原始関数は (1/4)cot(u) である。

∇²f = x² + y² のとき単位円板上の ∬∂f/∂r は π/10

積分値は π/10。被積分関数は動径方向の方向微分なので θ について平均すると (r g′)′ = r³ となり、どの f を選んでも g′ = r³/4 が定まる。

置換積分で ∫x³sin(7x⁴ + 3) dx = −cos(7x⁴ + 3)/28 + C

答えは −cos(7x⁴ + 3)/28 + C。外にある x³ は内側 7x⁴ + 3 の導関数とほぼ同じなので置換積分が効き、部分積分は不要である。

置換積分で ∫(x−1)/(x²−2x+3)² dx = −1/(2(x²−2x+3)) + C

原始関数は −1/(2(x²−2x+3)) + C。分子は底の導関数のちょうど半分であり、これはまさに置換積分が想定しているパターンである。

部分分数分解で ∫(x + 3)/(x² − 5x + 6) dx を求める

原始関数は −5 ln|x − 2| + 6 ln|x − 3| + C。分母を (x − 2)(x − 3) と因数分解し、2 つの単純な分数に分けてそれぞれ対数に積分すればよい。

∫x²e^(−x²) dx：部分積分と誤差関数

答えは −(x/2)e^(−x²) + (√π/4)erf(x) + C。x を 1 つ指数関数と組ませると部分積分が通り、残ったガウス型は erf で表せる。

x²e^x の積分：部分積分を2回使う

答えは e^x(x^2 − 2x + 2) + C。u = x^2 と選ぶと1回ごとに次数が下がる理由、2回必要な理由、微分して検算する方法を示す。

部分積分を2回使う ∫x²sin(x) dx

答えは −x²cos x + 2x sin x + 2cos x + C。部分積分1回ごとに x の次数が1つ下がるので、2 次の多項式にはちょうど2回の適用が必要になる。

∫₀^π x(sin2x − sinx) dx = −3π/2 の求め方

答えは −3π/2。部分積分の2つの積分に分けると x sin(2x) は −π/2、x sin(x) は π になるので、引き算して −π/2 − π = −3π/2 となる。

置換 u = x² + 1 で ∫x⁵/√(x²+1) dx を求める

答えは (1/5)(x²+1)^(5/2) − (2/3)(x²+1)^(3/2) + (x²+1)^(1/2) + C。x⁴ を (u−1)² と書き換えると被積分関数は u の単純な3つのべき乗になる。

先に分数を分けて ∫(x⁴ − 3x² + 5)/x dx を求める

原始関数は x⁴/4 − 3x²/2 + 5ln|x| + C。まず分子の各項を x で割り、べき乗則と 1/x の対数の公式を別々に適用すればよい。

∫2dy/(−2y) = −ln|y| + C の求め方

答えは −ln|y| + C。定数 2 と −2 が約分されて −1 になり、残るのは標準的な逆数の積分で、その原始関数には絶対値が必要になる。

分数の指数に対するべき乗則で ∫5y^(2/5) dy を求める

原始関数は (25/7)y^(7/5) + C。指数 2/5 に 1 を足すと 7/5 になり、7/5 で割ることは 5/7 を掛けることなので、5 × 5/7 = 25/7 となる。

∫e^(6x) dx = e^(6x)/6 + C：1/6 を忘れない

原始関数は e^(6x)/6 + C。微分すると合成関数の微分法で 6 が前に出るので、積分ではその分を 6 で割って埋め合わせる必要がある。

べき乗則で項別に ∫(x³ + 6) dx = x⁴/4 + 6x + C

原始関数は x⁴/4 + 6x + C。べき乗則により指数は 3 から 4 に上がって 4 で割られ、定数 6 は 1 次の項 6x に積分される。

和の法則とべき乗則で ∫(x + 3) dx = x²/2 + 3x + C

原始関数は x²/2 + 3x + C。積分を項ごとに分け、x にはべき乗則を、3 は定数 3x⁰ として扱い、最後に積分定数 C を 1 つ加えればよい。

べき乗則で ∫(x² − 13√x) dx = x³/3 − (26/3)x^(3/2) + C

原始関数は x³/3 − (26/3)x^(3/2) + C。x^(2/4) をまず x^(1/2) と約分しておくことが、べき乗則をきれいに使うための要点である。

係数 1/n − 1/(n+2) をもつ級数の収束区間は [−1, 1]

収束区間は閉区間 [−1, 1]。係数は 2/(n(n+2)) にまとまり 1/n² のように減衰するので、収束半径は 1 で両端でも収束する。

指数関数3つの和の逆ラプラス変換はデルタ関数の列

結果は 0.4δ(t−1) + 0.2δ(t−2) + 0.4δ(t−3)。F(s) が付いていない裸の e^(−as) はシフトしたディラックのデルタに戻り、指数の符号がシフト方向を決める。

二重対数 Li₂(x) は x = 1 で微分可能か——連続だが微分不可能

答えは「不可能」。Li₂ は x = 1 で値 π²/6 をもち連続だが、導関数 −ln(1−x)/x は x → 1⁻ で +∞ に発散する。

Li₂(x) = Σxⁿ/n² は x = −1 で微分可能か——可能で f′(−1) = ln 2

可能である。項別微分すると交代調和級数になり ln 2 に収束する。アーベルの定理により、その極限が端点における片側微分係数そのものになる。

下端が円弧の累次積分 ∫₀¹∫(y − x) dx dy = π/4 + 1/6

答えは π/4 + 1/6。平方を展開すると x² の項が打ち消し合い、4 分円の面積を表す積分と 2 つの初等的な多項式の積分だけが残る。

上端が √(1 − x²) + 1 の累次積分 ∫∫y dy dx = 2/3 + π/4

積分値は 2/3 + π/4 ≈ 1.4520648。内側の y 積分は 1 − x² + √(1 − x²) に潰れ、その最後の項が 4 分円の面積 π/4 になる。

直角三角形上での r² の極座標累次積分

答えには sec³ の公式が要る。内側の r 積分のあと問題は ∫sec³θ dθ になり、対数と積の和という標準的な原始関数が必要になる。

ラプラス変換とデルタ関数：y'' − y = 4δ(t−2) + t²

解は y(t) = 2e^t − t^2 − 2 + 4u(t−2)sinh(t−2)。撃力を e^(−2s) に変換し、部分分数分解で分けてから項ごとに逆変換する。

ラプラス変換で積分微分方程式を解く

y′(t) − 2∫₀ᵗ y(τ)sin(t−τ)dτ = 1、y(0) = −1 を解く。畳み込み定理で積分が積に変わり、y(t) = −1/2 − ½e^(−t/2)cos(√7t/2) + … が得られる。

第1移動定理による t·e^(2t) のラプラス変換

答えは s > 2 で 1/(s−2)²。L{t} = 1/s² から出発し、e^(2t) があるときに s を s − 2 に置き換える第1移動定理を適用すればよい。

[2, 5] を6分割した左端・右端リーマン和

f(x) = 2x^2 − x − 1 の [2, 5] における左端和は 55、右端和は 74.5。この区間で f は増加なので、厳密な面積 64.5 を上下から挟む。

2次式の比の平方根の x → ∞ での極限は 2

極限は 2。根号の中を x² で割ると比は 36/9 = 4 に近づき、その平方根が 2 になる。

積分表示で求める lim(x→−∞) Σ x^n/(n·n!) は −∞

極限は −∞。級数を微分すると (e^x − 1)/x になるので、和は積分で表され、−ln|x| のように振る舞っていくらでも下がっていく。

x = 1 における (x²−1)tan(2x−2)/sin²(x−1) の極限は 4

極限は 4。u = x − 1 と置換すると式は u(u+2)tan(2u)/sin²(u) になり、tan2u 〜 2u と sin²u 〜 u² が u の因子を打ち消す。

(e^x + x)^(1/x) の x → 0 における極限は e²

極限は e²。形は 1 の ∞ 乗なので対数を取ると (1/x)ln(e^x + x) が 0/0 になり、ロピタルの定理から 2 が得られて答えは e² となる。

はさみうちで求める (1 − cos2x)/(2x) の x → ∞ の極限

x → ∞ のときの (1 − cos2x)/(2x) の極限は 0。0 ≤ 1 − cos2x ≤ 2 なので、はさみうちの原理により商は 0 と 1/x の間に閉じ込められる。

x → 0 での (1 − cos x)/(1 − eˣ) の極限は 1 ではなく 0

極限は 0。分子は x²/2 のように消えるのに対し分母は −x のようにしか消えないので、商は −x/2 のように振る舞い両側から 0 に近づく。

x → 1 のときの (1 − x)/(√(5 − x²) − 2) の極限は 2

極限は 2。今回は根号が分母にあるので共役をかけ、1 − x² = (1−x)(1+x) を使って共通因子を約分する。

x → −∞ のときの 1/x² の極限は 0

極限は 0。2 乗すると符号が消えるので x² はどちら側からでも +∞ に向かい、分子が一定で分母が限りなく大きくなる商は 0 に潰れる。

x → 2 における (1 + (x³−8)/(4x−8))^(2x) の極限は 256

答えは 256。共通因子 x − 2 を約分すると底は (x²+2x+8)/4 になり、1 ではなく 4 に近づく。指数は 4 なので極限は 4⁴ = 256 である。

(2ⁿ + (−7)ⁿ) / (2ⁿ⁺¹ + (−7)ⁿ⁺¹) の n → ∞ での極限は −1/7

極限は −1/7。分子と分母を支配項 (−7)ⁿ で割ると、残る比 (2/−7)ⁿ は符号が交代しながらも 0 に近づく。

x → ∞ のときの (2ˣ − 3ˣ)/(2ˣ + 3ˣ) の極限は −1

極限は −1。増大の速い 3ˣ で分子分母を割ると ((2/3)ˣ − 1)/((2/3)ˣ + 1) になり、底が 1 未満なので (2/3)ˣ → 0 となる。

(2n − n³)/(12 + n³) の極限と、選択肢に正解がない理由

極限は −1 なので正しい選択肢は「正解なし」である。最高次の係数は分子が −1、分母が +1 で、他の項はすべて 1/n² や 1/n³ のように消える。

次数の比較で求める lim(x→∞) (2x − 3)/(x² + 3x) = 0

極限は 0。分母の最高次である x² で分子分母を割ると (2/x − 3/x²)/(1 + 3/x) となり、分子が消える。

x → 1 のときの (2x²+x−3)/|x−1| の極限は存在しない

答えは「極限は存在しない」。(x−1)(2x+3)/|x−1| と因数分解すると左からは −5、右からは +5 になり、x = 1 で高さ 10 の跳びが生じる。

x = 1 での 0/0 型（3次÷2次）を因数分解で解くと 7/13

極限は 7/13。分子も分母も x = 1 で 0 になるのでどちらも因子 x − 1 をもち、それを約分すれば不定形が解消する。

直接代入で求める x = 2 における 3x³ + 5x² + 4x − 10 の極限

極限は 42。多項式はいたるところ連続なので、3x³ + 5x² + 4x − 10 に x = 2 をそのまま代入して 24 + 20 + 8 − 10 = 42 と計算してよい。

x → −2 のときの (4 − x²)/(2x² + x³) の極限は 1

極限は 1。分子を (2−x)(2+x)、分母を x²(2+x) と因数分解して共通の (2+x) を約分し、(2−x)/x² に x = −2 を代入すればよい。

x → 2 のときの (4x²+7x−2)/(3x²+8x+2) の極限は 14/15

答えは 14/15。まず x = 2 での分母を確かめると 30 で 0 ではないので直接代入してよく、28/30 すなわち約分して 14/15 が得られる。

x → ∞ のときの (5x³ − 2x + 1)/(3x³ + 7) の極限は 5/3

極限は 5/3。分子分母を x³ で割ると残りの項はすべて 0 に向かい、2 つの最高次係数の比だけが残る。

x → +∞ のときの 9 − x² の極限は −∞

極限は −∞。限りなく大きくなる x² を定数 9 から引くので値は限りなく下がり、下に凸ならぬ上に凸の放物線の形と一致する。

lim(x→∞) (1/i)e^(ix) が存在しない理由——オイラーの公式

1/i = −i なので式は sin x − i cos x に等しく、絶対値は 1 のまま単位円を回り続ける。決して落ち着かないので極限は存在しない。

無限大での f(f(x)) の極限：(3 + √x)/(4√x)

f(x) は 1/4 に、f(f(x)) は 7/4 に収束する。分数を分けて内側の極限を求め、連続性を使ってその極限で外側の関数を評価する。

底が x/((e^x − 1)cos√x) の 1^∞ 型極限を求める

極限は 1 で選択肢 D。指数は 1/x のように振る舞い底は 1 + O(x²) なので、その積は 0 に向かい全体は e⁰ = 1 に収束する。

x → ∞ での ln(1 + 2^x) ln(1 + 2/x) の極限

極限は 2 ln 2、およそ 1.386。片方は x ln 2 のように増大し、もう片方は 2/x のように減るので、∞ × 0 の積がちょうど釣り合う。

x → −2 のときの (2x²+x−3)/|x−1| は代入して 1

答えは 1。x = −2 では分母 |x−1| が 0 ではなく 3 なので関数はそこで連続であり、直接代入して 3/3 = 1 が得られる。片側ごとの検討は不要である。

ラプラス型の集中から lim a(n+1)/a(n) = 4/5 を示す

a(n) を 1/2 から 2 までの 2^x/(1+x²)^n の積分とすると、比 a(n+1)/a(n) は 1/(1+x²) の加重平均になり、その最大値 4/5 に収束する。

x → ∞ での ln(100x¹⁰⁰+5x+3)/ln(2x²⁰+3x²−2) の極限は 5

極限は 5。効くのは最高次数だけで、対数はそれぞれ 100 ln x と 20 ln x のように振る舞い、係数の 100 と 2 は完全に洗い流される。

(3n²−4n+9)/(n²+32n+48) − √(n²+n+18) の極限は −∞

答えは −∞。有理式の部分は有限値 3 に近づくのに対し平方根は n のように増大するので、有界な量から限りなく大きい量を引くことになり発散する。

x → −5 のときの (√(4−x) − 3)/(x²+7x+10) の極限は 1/18

極限は 1/18。x = −5 で分子も分母も 0 になるので、分子に共役をかけ、2 次式を因数分解して共通因子 (x + 5) を約分する。

cos x について因数分解して解く (cos²x − 4cos x + 3)/sin²x の極限

極限は 1。分子を cos x について因数分解し、sin²x を (1−cos x)(1+cos x) と書き直すと、消える因子がちょうど約分され、ロピタルの定理は不要になる。

cos x をくくり出して求める (cos x − cos³x)/x² の極限

答えは 1。因数分解すると cos x (1 − cos²x) = cos x sin²x なので、商は cos x × (sin x / x)² になり、x = 0 でどちらの標準的な極限も 1 になる。

x → 0 での (eˣ − 1)/x の極限が 1 になる 3 通りの示し方

極限は 1。これは x = 0 における eˣ の微分係数の定義そのものであり、級数 eˣ = 1 + x + x²/2 + … からも従い、ロピタルの定理なら一手で出る。

テイラー展開で求める x → 0 での (ln(1+2x) − 2x)/x² の極限は −2

極限は −2。2x を引くことで ln(1 + 2x) の 1 次の項が消え、2 次の項 −(2x)²/2 が残るので、x² で割るとちょうど −2 になる。

n → ∞ のときの ln(n)/n² の極限は 0

極限は 0。対数はどんな正のべきよりも遅く増大するので、ロピタルの定理により ln(n)/n² は 1/(2n²) に変わり、n の増大とともに 0 に潰れる。

ロピタルの定理で求める x → ∞ での ln x / √x の極限

極限は 0。形は ∞/∞ であり、ロピタルの定理を 1 回使うと 2/√x に変わり、x の増大とともに 0 に向かうことが一目で分かる。

e^x をくくり出して求める lim(x→∞) ln(e^x + x)/(x² + 1)

極限は 0。対数の中で e^x をくくり出すと ln(e^x + x) = x + ln(1 + x e^(−x)) となるので、分子は x のように、分母は x² のように増大する。

x → −∞ のときの −2x − 4 の極限は +∞

極限は +∞。負の係数に −∞ へ向かう変数を掛けると積は正になり、一定の −4 では限りなく大きくなる増大を抑えられない。

はさみうちの原理で lim(n→∞) (−1)ⁿ/n = 0 を示す

極限は 0。分子は −1 と 1 の間を交代するだけで有界にとどまる一方、n は限りなく大きくなるので、絶対値 1/n が 0 に押しやられる。

n → ∞ のときの n²(1 − cos(2/n)) の極限は 2

u = 2/n と置換すると数列は 4 × (1 − cos u)/u² になり、この比が 1/2 に近づくので式全体の極限は 2 になる。

∞⁰ 型の極限 lim(x→0⁺) (1 + 1/x)^(x²/eˣ) を求める

右側極限は 1。対数を取ると ∞⁰ は x² ln(1/x) に変わり 0 に向かう。左側では底が負になるので式そのものが定義されない。

リーマン和の極限を定積分として計算する

極限は 98/3 = 32.667。リーマン和から a、b、f(x) を読み取る方法を学ぶ。2/n が幅を、3 + 2i/n が [3, 5] 上の右端を与える。

有理化で求める x = 0 における (√(3+x) − √3)/x の極限

極限は √3/6、およそ 0.2887。共役をかけて根号を消し、x を約分してから残った式に x = 0 を代入すればよい。

x → 2 のときの (√(3x−2) − 2)/(√x − √2) の極限は 3√2/2

答えは 3√2/2、およそ 2.12132。t = √x と置換して微分係数の形を出すか、2 つの根号を両方とも有理化するか、どちらでも同じ値になる。

x = 0 における √(x³ + 4x²)/x の極限は存在しない

√(x²) は x の絶対値に等しいので、右側極限は 2、左側極限は −2 になり、両側極限は存在しない。

x = 5 での (√(x+11) − 6)/(x − 5) の極限が存在しない理由

極限は存在しない。x = 5 では分子が √16 − 6 = −2 であって 0 ではないので、これは 0/0 ではなく −2/0 であり、右からは −∞、左からは +∞ に向かう。

共役を使って求める x = 4 での (√(x+5) − 3)/(x − 4) の極限

極限は 1/6。共役をかけると分子が x − 4 になって分母と約分でき、残った 1/(√(x+5) + 3) に代入すればよい。

x → 3 のときの √(x² + 6x − 2) の極限を求める

極限は 5。x = 3 で根号の中は連続かつ正なので、代入して √25 とすればよい——平方根は極限をそのまま通り抜けられる。

テイラー展開で求める (sin3x − 3sin x)/x³ の極限は −4

極限は −4。1 次の項 3x が打ち消し合い、3 次の項 −9x³/2 と +x³/2 が残るので商は −4 に向かう。3 次まで展開しなければ答えが出ない 0/0 型である。

x = π/2 における (sin3x − cos2x)/(2x − π)² の極限は 5/8

極限は 5/8。x = π/2 + t と置換すると (cos2t − cos3t)/(4t²) になり、余弦を 2 次まで展開すると (9/2 − 2)/4 が残る。

(sin 3x + x)/(x + sin 5x) の x→0 における極限は 2/3

極限は 2/3。分子と分母を x で割ると各項が標準極限 sin(kx)/x の形になり、(3 + 1)/(1 + 5) = 4/6 が得られる。0/0 型の三角関数の極限の典型パターン。

(sin 4x + cos 2x)/(4x − π) の x→π/4 における極限は −3/2

極限は −3/2。x = π/4 + t と置き換えると分子は −sin 4t − sin 2t、分母は 4t になり、比は (−4 − 2)/4 に近づく。ロピタルの定理でも同じ値が出る。

sin(9x)/cot(12x) の x→0 での極限は 0

x→0 における sin(9x)/cot(12x) の極限は 0。cot(12x) を cos/sin に書き換えると商は sin(9x)sin(12x)/cos(12x) となり、分母が 1 に近づくので極限は代入で片づく。

x→∞ での sin(x) の極限は存在しない

答えは「極限は存在しない」。無限大へ向かう 2 つの数列をとると sin x はいつまでも 1 と −1 のままになり、値が 1 つの数に落ち着くことはない。

はさみうちの原理で示す sin(x)/x の x→0 の極限は 1

答えは 1（ただし x はラジアン）。cos x ≤ sin(x)/x ≤ 1 とはさみうちの原理で示せる。度数法で測れば同じ極限は π/180 になる。

(sin x/x)^(1/(cos x−1)) の x→0 の極限：1^∞ 形

極限は e^(1/3) ≈ 1.3956。1^∞ 形なので対数をとり、ln(sin x/x) と cos x − 1 の x² の項を比べると指数 1/3 が得られる。

x→∞ での sinh(x)/√(cosh 2x) の極限は √2/2

答えは √2/2、およそ 0.70711。双曲線関数を指数関数で書き直し、分子と分母からそれぞれ e^x をくくり出すと、残る定数が 1/√2 になる。

√(36x²+7x+49) − 6x の x→∞ の極限を有理化で求める

極限は 7/12。共役式を掛けると ∞ − ∞ の形が (7x + 49)/(√(36x² + 7x + 49) + 6x) に変わり、主要な挙動が 7x/12x になる。

tan(2x)/sin(3x) の x→0 での極限は 2/3

tan 2x を sin 2x / cos 2x と書き直し、分子と分母を x で割る。cos 0 = 1 なので、標準の sin(kx)/x の極限から 2/3 が得られる。

sin x をくくり出して求める lim(x→0) (tan x − sin x)/x²

極限は 0。tan x − sin x は x³/2 のようにふるまい、x² より次数が 1 つ高いからである。先に両方を x に置き換えると分子が誤って 0 になってしまう。

(tan x / x)^(1/x) の x→0 での極限は 1

極限は 1。1^∞ の不定形なので対数をとると (x²/3)/x となり 0 に近づく。よってもとの式は e^0 に近づく。

x→∞ のときの定数 3 の極限

答えは 3。定数関数はどんな入力に対しても同じ値を返すので、x がどれだけ大きくなっても値は 3 からまったく動かない。

1/x − ⌊1/x⌋ の x→0⁺ の極限は存在しない

極限は存在しない。この式は 1/x の小数部分であり、x = 1/n に沿えば常に 0、x = 1/(n+½) に沿えば常に 1/2 になる。

ずらして引く方法で lim Σ n/2ⁿ を求める

答えは 2。和を 1/2 倍して引くと係数が畳み込まれて単なる等比級数になり、S/2 = 1、したがって S = 2 が得られる。

(2 arctan(ρ/δ)/π)^ρ が e^(−2δ/π) に近づく理由

底は下から 1 に上がるので、冪は 1 ではなく e^(−2δ/π) に近づく。この値は 1 未満なので括弧の中は負のままで、実数の対数は定義されない。

ロピタルの定理を 3 回使う lim(x→∞) x³e^(−2x)

極限は 0。x³/e^(2x) と書き直すと ∞/∞ になり、微分するたびに次数が 1 つ下がる一方で指数関数はそのまま残る。

(x − 9)/(√x − 3) の x→9 での極限は 6

極限は 6。x − 9 を (√x − 3)(√x + 3) と書けば分母がそのまま約分でき、残る √x + 3 は x = 9 のとき 6 になる。

((x + 3)/(x − 1))^(x + 3) の x→∞ での極限

極限は e^4。底を 1 + 4/(x − 1) と書き直すと標準の e の形になり、指数が極限で 4 という因子を生む。

平方の差を使う x = −4 での (x² − 16)/(x + 4) の極限

極限は −8。代入すると 0/0 になるので x² − 16 を (x − 4)(x + 4) と因数分解し、x + 4 を分母と約分してから x − 4 に x = −4 を代入する。

(x²−3x+2)/(√(5−x) − √(x+1)) の x→2 での極限

極限は −√3、およそ −1.732。x = 2 で分子も分母も 0 になるので、分子を因数分解し共役式を掛けて共通因子 (x − 2) を約分する。

x が正の無限大に近づくときの x² − 4 の極限

極限は +∞。x² の項はどんな上界も超えて増大し −4 は固定されたままなので、差は上へ発散し、有限の極限値は存在しない。

x − 3 を約分して求める x = 3 での (x² + 2x − 15)/(x² − 9) の極限

極限は 4/3。直接代入すると 0/0 になるので、(x + 5)(x − 3) と (x − 3)(x + 3) に因数分解し、共通の x − 3 を約分してから x = 3 を代入する。

因数分解と約分で解く x = −4 での 0/0 型の極限

x→−4 のときの (x² + 5x + 4)/(x² + 3x − 4) の極限は 3/5。−4 で分子も分母も 0 になるので、共通の (x + 4) をくくり出してから代入する。

x^(x+1)/(1+x)^x − 1/e の x→+∞ での極限

答えは +∞。商を x(1+1/x)^(−x) と書き直すと x/e のように増大することがわかり、定数 1/e を引いても発散は抑えられない。

x = −2 での (x²−x−6)/|x+2| の極限は存在しない

答えは「極限は存在しない」。因数分解すると (x−3)(x+2)/|x+2| となり、左極限は 5、右極限は −5 で、2 つの片側極限が食い違う。

(1 + tan 5x − cos x)/(√(1−x²) − ⁵√(1+x)) の x→0 の極限

極限は −25。効くのは 1 次の項だけで、分子は 5x、分母は −x/5 のようにふるまう。√(1−x²) は 1 次では何も寄与しないからである。

x → 2 での (√(3x−2) + √(x−1) − 3)/(x²−4) の極限

極限は 5/16。分子を2つの共役のペアに分ける方法と、0/0 の不定形にロピタルの定理を1回使う方法の2通りで求める。

円 x²+y²=4 の右半分に沿う線積分

答えは 16/3 + 2 sin 2。完全微分の部分を切り分けて端点だけで評価し、残りを x = 2cos t、y = 2sin t で媒介変数表示する。

x が y に近いときの ln(x/y) の近似 — 相対変化

答えは ln(x/y) ≈ (x−y)/y、すなわち相対変化。次の項まで入れると (x−y)/y − ((x−y)/y)²/2 となり、誤差は 1% を大きく下回る。

64 のまわりの1次近似で 62.5 の立方根を求める

f(x) = (64 + x)^(1/3) を x = 0 で線形化すると L(x) = 4 + x/48 となり、62.5 の立方根は約 3.96875。厳密値 3.968503 との差は 0.00025 である。

ベータ関数で解く ln(x)/(x^0.9(1−x)^0.1) の積分

値は (π/sin(π/10))(ψ(0.1) + γ) ≈ −100.1039。B(a, b) を a で微分するとき分母の Γ(a+b) を残さないと、答えが約 6% ほど負に振れてしまう。

対数微分法で (sin x)^(cos x) を微分する

導関数は (sin x)^(cos x) × (cos²x / sin x − sin x ln sin x)。冪の法則も指数関数の法則も単独では使えないので、まず両辺の ln をとる。

等比級数を微分して求める 1/(1 + x)² のマクローリン展開

級数は 1 − 2x + 3x² − 4x³ + 5x⁴ − 6x⁵ + 7x⁶ − 8x⁷ + …、すなわち Σ(−1)ⁿ(n + 1)xⁿ。1/(1 + x) の等比級数を微分すれば得られる。

sin x の 7 次までのマクローリン展開と x = 1 での誤差

級数は x − x³/6 + x⁵/120 − x⁷/5040。正弦が奇関数なので奇数次だけが現れ、分母は奇数の階乗 3!、5!、7! になる。

掛け算で求める tan x / (1 + x²) の 7 次までのマクローリン展開

級数は x − (2/3)x³ + (4/5)x⁵ − (47/63)x⁷ + O(x⁹)。タンジェントの級数と 1/(1 + x²) の等比級数を掛けて x⁷ までの項を集める。

tanh(10⁻¹³x)/x の 10 次までのマクローリン展開

残るのは偶数次だけ：10⁻¹³ − 10⁻³⁹x²/3 + 2·10⁻⁶⁵x⁴/15 − 17·10⁻⁹¹x⁶/315 + 62·10⁻¹¹⁷x⁸/2835 − 1382·10⁻¹⁴³x¹⁰/155925。10 次に届かせるには tanh の z¹¹ の項が要る。

ベクトルの外積の混合2階偏微分

答えは −k。A × B = 3yz i − 4xz j − xy k と展開し、x で1回微分して −4z j − y k を得て、さらに y で微分すると定ベクトル −k が残る。

[a, ∞) 上の単調・非負・非有界な f：広義積分は必ず発散する

単調かつ非有界かつ非負であれば f は限りなく増加するしかなく、やがて f ≥ 1 となるので、裾の積分は区間の長さを超え、それは限りなく大きくなる。

ニュートンの冷却の法則：90℃のコーヒーが30℃になるまで

20分後のコーヒーは48.9℃で、30℃になるのは約44分後。10分後に65℃という測定値から k = (1/10)ln(14/9) = 0.04418 を決める。

lim(x→0) 4/(x² · 2^(1/x)) が存在しない理由

右からは 0、左からは +∞ になるので、両側極限は存在しない。t = 1/x と置換すると、どちら側も 4t²/2^t の形になる。

cos(√(a − x²)) = 1 の解がちょうど8個になる a

答えは 36π² < a < 64π²。4π²k² < a を満たす k がそれぞれ解を1組ずつ生むので、そのような k がちょうど4個必要で、端点は取れない。

100Vy/(Vm + Vm20(t − 20)b) − 100 の t についての偏微分

分母を D とおいて D⁻¹ に連鎖律を使うと ∂d/∂t = −100·Vy·Vm20·b / (Vm + Vm20(t − 20)b)² となる。−100 は定数なので消える。

気体の体積の式の Pa についての偏微分を商の微分法で求める

比 (Pg − Pa)/(Pv − Pa) 以外はすべて定数なので、商の微分法より ∂V/∂Pa = 1000M(Pg − Pv) / [Pg(1 + (t − 20)b)(Pv − Pa)²] となる。

ln(x² + y²) の x についての偏微分を連鎖律で求める

答えは 2x/(x² + y²)。y を定数として扱うので内側の微分は 2x だけになり、外側の対数から x² + y² の逆数が出る。

x²y + y sin x の x についての偏微分

答えは 2xy + y cos x。y を定数として固定すると単なる係数になるので、微分されるのは x² と sin x だけである。

根号を含む商の対数の偏導関数

z = ln((x − √(x^2−y^2))/(x + √(x^2−y^2))) の偏導関数は z_x = −2/√(x^2−y^2)、z_y = 2x/(y√(x^2−y^2))。導出と数値による確認も示す。

ax + b の a についての偏微分と b についての偏微分

答えは、a についての偏微分が x、b についての偏微分が 1。いずれの場合も、微分する変数以外のすべての記号は定数として固定される。

f(0) = 6 のときの dy/dx = 3x²(y − 4) の特殊解

特殊解は y = 4 + 2e^(x³)。変数分離して積分すると ln|y − 4| = x³ + C となり、指数をとってから f(0) = 6 を使うと定数は 2 に定まる。

x = 2 での条件から f'' = 2 の特殊解を求める

特殊解は f(x) = x² + x + 4。f'' = 2 を 2 回不定積分し、f'(2) = 5 から C1 = 1、f(2) = 10 から C2 = 4 を定める。

π/3 から π/2 までの r = 2 sin θ と r = 4 sin θ の間の面積

面積は π/2 + 3√3/4 ≈ 2.8698。極形式にすると 2 つの円は r = 2 sin θ と r = 4 sin θ になり、境界の直線が θ を π/3 から π/2 に定める。

カージオイド a(1−cos) 上での r³cos²θ の極座標積分

答えは 49πa⁴/32。r³ を積分して a⁴(1−cos)⁴/4 とし、4 乗を展開して余弦の奇数乗を落とし、ウォリスの値 π、3π/4、5π/8 を使う。

ρ = 2 sin θ から ρ = 2 までの ρ²sin θ の極座標積分

答えは 4√2/3 − π/4 − 2/3、およそ 0.43355。ρ³/3 を積分し、sin⁴ を次数下げの公式で書き直してから θ を π/4 から π/2 まで積分する。

内側の積分範囲に対数が現れる極座標二重積分

答えは 1/2。内側の 1/r の積分から下端の対数が現れ、残った θ の積分は既知の ∫sin u ln(sin u) に帰着する。

∫e^f sin x ln f dx = 0 ならある x₁ で f(x₁) = 1

もし f が決して 1 にならなければ ln f は連続で 0 にならず、中間値の定理より符号が一定になる。すると被積分関数の符号も一定になり、積分は 0 になりえない。

n = 1 から無限大までの x^(n−1)/n の和は −ln(1−x)/x

和は 0 < |x| < 1 で −ln(1−x)/x、x = 0 では除去可能で値は 1。x を 1 つくくり出せば標準の −ln(1−x) の級数に帰着する。

n = 1 から無限大までの x^n/n² の和：二重対数関数 Li₂(x)

和は二重対数関数 Li₂(x) で、|x| ≤ 1 で収束する。初等的な閉じた形はないが、x = 1 で π²/6、x = −1 で −π²/12 になる。

両端の極限がともに A なら f' に零点があることの証明

証明：f が [a, ∞) で微分可能で、a の右側と無限大でともに有限値 A に近づくなら、内部に最大または最小が閉じ込められ、フェルマーの定理より f'(ξ) = 0 となる。

任意の数列が単調部分列をもつことの証明（ピーク法）

すべての m > n について a_n ≥ a_m のとき n をピークと呼ぶ。ピークが無限個なら非増加部分列が、有限個なら狭義増加部分列が作れる。

微分可能なら連続であることの証明（(x−a) を掛ける手口）

f(x) − f(a) を差分商と (x − a) の積に書く。差分商は f'(a) に、(x − a) は 0 に近づくので積は 0 に近づき、f(x) は f(a) に近づく。

ライプニッツの公式 (fg)⁽ⁿ⁾ = Σ C(n,j) f⁽ⁿ⁻ʲ⁾ g⁽ʲ⁾ を帰納法で証明する

n についての帰納法：n の場合の式を微分すると 2 つの和が現れ、同類項がパスカルの法則 C(n,j) + C(n,j−1) = C(n+1,j) でまとまり n+1 の場合が得られる。

C = e^(−kt)u と置いて dC/dt = D d²C/dx² − kC を解く

置換 C(x,t) = e^(−kt) u(x,t) は減衰項をちょうど取り除き、既知の解をすべてもつ標準の熱方程式 u_t = D u_xx を残す。

sin^(2n)(x) の積分：漸化式と閉じた形

漸化式は I_n = −sin^(2n−1)(x)cos(x)/(2n) + (2n−1)/(2n) I_(n−1)、I_0 = x。次数下げの公式からは余弦の和による明示式が得られる。

積分順序を交換して e^(y³) を積分する

値は (e^8 − 1)/6。e^(y^3) は y について初等的な原始関数をもたないので dx dy に交換し、内側の積分で置換に必要な y^2 を作り出す。

微分する前に書き直す：1/√x、x/2 − 2/x ほか 2 題

導関数は −1/(2x^(3/2))、1/2 + 2/x²、(3/2)√x − 2x、18x。どれもまず冪の和に書き直してからでないと冪の法則が使えない。

ln(x + √(a + x²)) を arsinh(x/√a) + (1/2)ln a に書き直す

a > 0 のときこの式は arsinh(x/√a) + (1/2)ln a に等しい。a はもともと平方の形ではないので、スケール因子は √a、定数は対数の半分になる。

ln(x + √(a² + x²)) を arsinh(x/a) + ln(a) に書き直す

a > 0 のときこの式は arsinh(x/a) + ln a に等しい。中身を a で割ると標準形 ln(u + √(u² + 1)) に一致し、残った a が ln a になる。

p → ∞ のとき ∫f(x)cos(px)dx が 0 に近づくことの証明

極限は 0。リーマン可積分な f を階段関数で近似し、階段関数の場合を厳密に計算し、誤差を ε で抑えるという筋道で証明する。

f'' = 6x − 12 のとき x = 1 での第 2 次導関数判定法

f は x = 1 で極大になる。臨界点なので f'(1) = 0 であり、f''(1) = 6(1) − 12 = −6 < 0 なのでそこでグラフは上に凸である。

特性方程式で微分方程式 X'' = −0.1X を解く

X(t) = C1 cos(t/√10) + C2 sin(t/√10)。特性方程式 r² + 0.1 = 0 の根は純虚数なので、どの解もいつまでも振動し続ける。

階数低下で y'' = e^y の第一積分を求めて解く

答えは (y')² = 2e^y + C1、明示的には y = ln(C1/2) − 2 ln|sinh(√C1 (x − x0)/2)|。要点は y' を x ではなく y の関数と見ることである。

初速 0 で x″ + y″ = t²、x″ − y″ = 4t を解く

解は x = t⁴/24 + t³/3 + 8、y = t⁴/24 − t³/3。2 式を足し引きすると連立が外れ、あとは 2 回ずつ積分するだけになる。

変数分離と冪の積分で dx/dy = a·x^(2/3) を解く

答えは x = ((a/3)y + C)³、これに特異解 x = 0 が加わる。x^(2/3) で割ると指数 −2/3 の冪の法則になり、その原始関数は 3x^(1/3) である。

変数分離で dy/dx = 3 − 4y を解く

答えは y = 3/4 + Ce^(−4x)。分離すると −1/4 ln|3−4y| = x + C となり、3/4 は x が増えるにつれて解が近づいていく安定な平衡値である。

変数分離で dy/dx = e^y を解く

一般解は y = −ln(C − x) で、x < C でのみ定義される。分離すると e^(−y)dy = dx となり、x が C に近づくと解は有限の位置で発散する。

変数分離で dy/dx = ky を解く：指数関数の法則

一般解は y = Ce^(kx)。分離すると dy/y = k dx となり、ln|y| = kx + C の指数をとると符号と定数が 1 つの C にまとまる。

変数分離で dy/dx = ((2y+3)/(4x+5))² を解く

答えは 1/(2y+3) = 1/(8x+10) + C、これに特異解 y = −3/2 が加わる。2 乗した商を分けて各辺に 1 変数ずつ置き、どちらも u^(−2) の形として積分する。

変数分離で dy/dx = y² を解く

答えは y = 1/(C − x)。y^(−2) を積分すると −1/y = x + C となり、0 でない解はどれも有限の距離だけ進んだ x = C で発散する。

dy/dx = y を解く：答えが y = Ce^x になる理由

答えは y = Ce^x。分離すると ln|y| = x + C となり、e^C を 1 つの定数 C にまとめると、C は 0 を含む任意の実数を取れるようになる。

変数分離と積分で dy = dx/(y − 1)² を解く

答えは (y − 1)³ = 3x + C、すなわち y = 1 + (3x + C) の 3 乗根。(y−1)² を掛けることが分離であり、3 乗根にはプラスマイナスが要らない。

部分分数分解で変数分離形 y² + a y' = b を解く

b > 0 のとき答えは y = √b tanh(√b x/a + C)。分離すると dy/(b − y²) が現れ、その積分は部分分数分解で比の対数になる。

2 つの対数級数を引いて ln((1+x)/(1−x)) の級数を作る

答えは |x| < 1 で 2x + 2x³/3 + 2x⁵/5 + …。ln(1+x) の級数から ln(1−x) の級数を引くと偶数次がすべて消え、奇数次が 2 倍になる。

級数 Σ n/3^n は収束するか：比判定法と和

この級数は収束する。比判定法で L = 1/3 < 1 となり、等差×等比の和の公式から厳密値 3/4 が得られる。根拠を1ステップずつ示す。

1/(3cos³x + sin2x + sin²x) の積分が発散する理由

答えは「発散する」。分母は [−π/4, 3π/4] の内部にある x = 1.9569768 で 1 位の零点をもつので、被積分関数は 1/(x − c) のようにふるまい可積分でない。

x = sin(kt) + cos(kt) が x'' + k²x = 0 を満たすことを示す

2 回微分すると x'' = −k²(sin kt + cos kt) となり、これはちょうど −k²x である。連鎖律が微分 1 回につき k の因子を 1 つ供給する。

[−7, 0] における f(x) = −2x²eˣ の概形：最小値・変曲点・値域

曲線は x = −2 で最小値 −8/e² ≈ −1.0827 まで下がり、x = 0 で 0 まで戻る。変曲点は x = −2 ± √2 にあり、グラフ全体が軸上またはその下にある。

y = √(9x² − 6x + 3) の斜め漸近線

x → +∞ での斜め漸近線は y = 3x − 1 で、曲線はその上側にある。平方完成して (3x − 1)² + 2 の形にし、共役をかける手法を使う。

dy/dx + √(1 + (dy/dx)²) = e^x を根号の分離で解く

解は y = cosh x + C。根号を分離して 2 乗すると p² の項が消え、p = (e^x − e^−x)/2 = sinh x が残るので、そのまま積分できる。

積分因子で dy/dx = 2y − x を解く：y = Ce^(2x) + x/2 + 1/4

一般解は y = Ce^(2x) + x/2 + 1/4。積分因子 e^(−2x) を掛けると左辺がひとつの導関数にまとまり、右辺の −x e^(−2x) は部分積分で処理する。

dy/dx = 6 − y/2 を解いて平衡解 12 を求める

一般解は y = 12 + Ce^(−x/2)。y′ + y/2 = 6 と書き直せば 1 階線形微分方程式であり、平衡解 y = 12 に他のすべての解が引き寄せられる。

積分因子 e^(2x) で dy/dx + 2y = e^(3x) を解く

一般解は y = (1/5)e^(3x) + Ce^(−2x)。積分因子は同じ e^(2x) だが、右辺は e^x ではなく e^(5x)/5 に積分される点が違う。

定数係数の dy/dx + ay = b を解く

a ≠ 0 のとき一般解は y = b/a + Ce^(−ax)。定数 b/a は解が漸近していく平衡値であり、a = 0 の場合は y = bx + C となる。

f(x)/f′(x) = tan((k−1)x) を満たす関数 f を求める

答えは f(x) = C |sin((k−1)x)|^(1/(k−1))。比を逆にして f′/f = cot((k−1)x) とし、対数微分を積分してから指数をとる。

積分因子で (t−1)ẋ − x + 1 = t を解く

t > 1 における一般解は x(t) = (t − 1)(ln(t − 1) + C)。t − 1 で割り、積分因子 1/(t − 1) を使えば、あとは 1/(t − 1) を素直に積分するだけになる。

完全微分方程式として (e^y + 6x)dx + xe^y dy = 0 を解く

陰関数の形の解は x e^y + 3x² = C。完全性の判定 ∂M/∂y = ∂N/∂x = e^y が通るのでポテンシャル関数が存在し、M を x で積分すればそれが作れる。

複素固有値をもつ連立 x′ = x − 2y、y′ = 2x + y を解く

解は x = e^t(C₁cos2t + C₂sin2t)、y = e^t(C₁sin2t − C₂cos2t)。行列の固有値は 1 ± 2i なので、軌道は外向きの渦巻きになる。

共鳴する試行解で y″ − 3y′ + 2y = eˣ を解く

一般解は y = C₁eˣ + C₂e^(2x) − xeˣ。eˣ はすでに斉次方程式の解なので、未定係数法を使う前に試行解に x を掛けなければならない。

重解を持つ y'' + 2y' + y = e^(3x) を解く

答えは y = (C1 + C2 x)e^(−x) + e^(3x)/16。特性方程式 (r + 1)² = 0 は重解 r = −1 を与え、試行解 Ae^(3x) から 16A = 1 が導かれる。

重解による共鳴を含む y″ + 2y′ + y = e^(−x) を解く

答えは y = e^(−x)(C₁ + C₂x + x²/2)。特性方程式の解 −1 は重解なので、試行解には x の因子が 1 つではなく 2 つ必要になる。

純虚数の特性解を持つ y'' + 4y = 0 を解く

一般解は y = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)。特性方程式 r² + 4 = 0 から r = ±2i が得られるので、角振動数は 2 になる。

単振動の方程式 y'' + y = 0 を解く

一般解は y = C1 cos x + C2 sin x。特性方程式 r² + 1 = 0 の解は ±i なので、角振動数 1 の振動になる。

定数の特殊解を持つ y'' + y = 12 を解く

答えは y = C1cos(x) + C2sin(x) + 12。特性方程式の解は ±i であり、定数を試行解にとれば特殊解が直ちに求まる。

n = 1 から無限までの 1/(4n² − 1) の和を望遠鏡和で求める

この級数の和は 1/2。4n² − 1 を (2n−1)(2n+1) に因数分解して部分分数に分けると、途中の項がすべて対になって打ち消し合う。

n = 1 から無限までの 1/(n(n+2)) の和は 3/4

部分分数に分けると (1/2)(1/n − 1/(n+2)) となり、2 つ飛びで打ち消し合う望遠鏡和になる。先頭の 2 項が残り、合計は 3/4 になる。

n = 0 から無限までの 2ⁿ/n! は eˣ の級数から e² になる

和は e² ≈ 7.389。これは指数関数の級数 Σxⁿ/n! に x = 2 を代入したものである。n = 1 から始めると n = 0 の項が抜けて e² − 1 になる。

k = 1 から無限までの 2k/2^k の和を求める（答えは 4）

和は 4。2 をくくり出すと Σk(1/2)^k が残り、公式 x/(1−x)² に x = 1/2 を代入すると 2 になるので、全体は 2 × 2 = 4 になる。

Σ ln(n)/n² を求め、−ζ′(2) ≈ 0.9375 に等しいことを示す

答えは −ζ′(2) ≈ 0.9375482543。ζ(s) = Σ n⁻ˢ を項ごとに微分すると −ln n · n⁻ˢ が現れるので、s = 2 とすればこの級数が特定できる。

n=1 から無限までの n/(n+1)! を望遠鏡和で求める（答えは 1）

和はちょうど 1。n を (n+1) − 1 と書けば各項が 1/n! − 1/(n+1)! に分かれ、部分和は 1/1! から消えていく尾を引いた形に潰れる。

−ln(1 − x) の級数で 1/(n·2ⁿ) の和を求める

和は ln 2 ≈ 0.6931472。1/(n·2ⁿ) を (1/2)ⁿ/n と書き直し、|x| < 1 で成り立つメルカトル級数 −ln(1 − x) = Σ xⁿ/n に当てはめて x = 1/2 を代入する。

長方形の上にある平面 z = −2x + 4y + 1 の表面積

面積は 15√21、およそ 68.74。平面では表面積の被積分関数が定数になるので、答えは √(1 + fx² + fy²) に底面の面積を掛けるだけである。

y = 3x⁴ − 6x² + 2 の x = 2 における接線

傾きは 72、接点は (2, −2) ではなく (2, 26) なので、接線は y = 72x − 118 になる。印刷された点を訂正する検算も含む。

a/(4b(x+b))·exp(−4b/(x+2b)) の x = 0 におけるテイラー展開

級数は (a e⁻²/4b²)(1 − x³/12b³ + x⁴/8b⁴ + …) となる。x と x² の項はちょうど消える。t = x/b と置けば、展開全体から助変数を追い出せる。

2^x を e^(x ln 2) に直して x = 0 でテイラー展開する

マクローリン級数は Σ (ln 2)ⁿ xⁿ / n! = 1 + 0.6931x + 0.2402x² + … で、すべての実数 x に対して成り立つ。2^x を e^(x ln 2) に直して指数関数の級数を使い回す。

3 sin x/cos²x + sin 2x の 0 における 5 次までのテイラー展開

5 次のテイラー多項式は 5x + (7/6)x³ + (43/24)x⁵。sin x と sec²x の級数を掛け合わせ、そこへ sin 2x の級数を足して作る。

e^x の x = 0 におけるテイラー展開を導関数から導く

級数は n ≥ 0 についての xⁿ/n! の和、すなわち 1 + x + x²/2! + x³/3! + …。e^x は何回微分しても e^x で、x = 0 では 1 になるからである。すべての実数 x で収束する。

f′(x) を積分して ln(√(x²+1)+x) をテイラー展開する

ln(√(x²+1)+x) = x − x³/6 + 3x⁵/40 − 5x⁷/112 + … が [−1,1] で成り立つ。この関数は arsinh x なので、微分すると 1/√(1+x²) になり、二項級数が使える。

√(1+2x) の x = 0 におけるテイラー展開を二項級数で求める

答えは 1 + x − x²/2 + x³/2 − 5x⁴/8 + … で、|x| ≤ 1/2 で成り立つ。α = 1/2、t = 2x として二項級数を使い、2 の累乗を最後まで持ち越す。

√(x²+1) の x = 0 におけるテイラー展開：偶数次だけ

答えは 1 + x²/2 − x⁴/8 + x⁶/16 − 5x⁸/128 + … で [−1, 1] で成り立つ。α = 1/2 の二項級数に t = x² を代入すると、x の偶数次の項だけが残る。

分母に根号を含む望遠鏡和は 1/√2 になる

1/(√(n+1)(n+2) + (n+1)√(n+2)) の和は 1/√2。分母を因数分解すると、一般項が 1/√(n+1) − 1/√(n+2) に変わる。

3 つの極限：代入・因数分解・共役式

答えは 5、8、1/4。1 つ目は連続性から代入で、2 つ目は (x−3) の約分で、3 つ目は共役式を掛けることで 0/0 の不定形を解消する。

円錐と回転放物面にはさまれた領域での x の三重積分

値は π/12。x 軸まわりの円柱座標を使うと、2つの曲面は r = 1 で交わり、立体は x = r^2 から x = r まで、dV = r dx dr dθ となる。

平面で囲まれたくさび形上の 2x − 2yz の三重積分

答えは厳密に −466/5。z を −2x + 4y − 4 まで、y を 2x − 2 まで積分すると、最外の被積分関数は x の 4 次式になり、2 から 3 までの積分が −466/5 となる。

3az²sin y + 2z³sin y cos y の三重積分は 3πa⁴/2

積分値は 3πa⁴/2。被積分関数に x が現れないため x の積分は 2π を掛けるだけで済み、z と y の積分がそれぞれ a⁴ と 3/4 を与える。

直方体上での 4x²·y·z³ の三重積分を求める

値は 15/2。積分範囲がすべて定数で被積分関数が積の形なので、x、y、z の順に積分し、各段階で定数をくくり出せばよい。

直方体上での 4x²·y·z³ の三重積分（x は 2 から 3）

値は 19/2。被積分関数が x の関数、y の関数、z の関数の積で、積分範囲が直方体なので、三重積分は 3 つの 1 変数積分に分かれる。

z = 9 − x² − y² の下での −2y の三重積分の厳密値

厳密値は −648/5。先に z で積分すると −2y(9−x²−y²) が残り、y の積分は −(9−x²)²/2 にまとまる。円柱座標でも同じ値が確かめられる。

y の範囲が逆向きになる −5x + 5yz の三重積分

答えは厳密に 25/2。x > 1 では 5 − 5x が負になるため y の積分範囲が逆向きになる。その向きを保ったまま累次積分すると +25/2 が得られる。

半円板上・放物面の下での −5y の三重積分

答えは厳密に −188。−5y を z で積分すると −5y(9−x²−y²) となり、y の積分は −(5/4)(9−x²)² にまとまる。x を −1 から 1 まで積分すると −188 が得られる。

円錐と球面に挟まれた領域での sin((x²+y²+z²)^(3/2)) の三重積分

答えは 2π(1 − √3/2)(1 − cos 1)/3、およそ 0.128989。球座標に移すと円錐は φ = π/6 の一定面になり、被積分関数は ρ だけの関数になる。

放物面の内部の立体上での x の三重積分は 0

z = x² + y² の内側で z = 3 までの立体上での x の積分は 0。領域が平面 x = 0 について対称で、被積分関数が x について奇関数なので、すべて打ち消し合う。

単位四面体上での x + 2y + 3z の三重積分

答えは 1/4。対称性により x、y、z のいずれも四面体上での積分は 1/24 なので、重み付きの合計は (1 + 2 + 3)/24、すなわち 6/24 になる。

放物面の内部での x² + y² の三重積分、答えは 336π

積分値は 336π。円柱座標では被積分関数は単に r² となり、円板の半径は √(2z)、計算全体が 2π∫z² dz に帰着する。

円柱座標を使った放物面内部での x²y² の三重積分

積分値は 340π。円柱座標に移り、2 ≤ z ≤ 8 で r ≤ √(2z) とし、角度の因子 cos²θ sin²θ を分離する。その積分は π/4 になる。

単位球体上での x² + y² + z² の三重積分

値は 4π/5、およそ 2.5133。球面座標では被積分関数が ρ^4 sin φ になり、3つの積分は 2π × 2 × 1/5 に分離する。

z = x² + y² の内側で z = 3 の下での xyz の三重積分は 0

値は 0。円柱座標では角度の因子が 1 周にわたる cos θ sin θ の積分になって消えるので、動径方向や z 方向の計算はまったく不要である。

変数分離による単位立方体上での xyz の三重積分

値は 1/8。積分範囲が定数で被積分関数が 1 変数因子の積なので、三重積分は各方向から 1/2 ずつ出て (1/2)³ になる。

四面体上での xyz·e^(−x−y−z) の三重積分

答えは 1 − e^(−k) に e^k の級数の最初の 6 項を掛けたもの。単体上の体積公式により、三重積分は 1 つのガンマ型積分に帰着する。

奇関数の対称性で消える xz の三重積分

値は 0。z、続いて y について積分すると [−1, 1] 上での (x − x⁷)/6 の積分に帰着する。対称区間上の奇関数なので、ちょうど打ち消し合う。

z = y² と平面 z = 4 の間での yz の三重積分

値は 64π/3。z が y² から 4 まで動くので内側の積分は (16 − y⁴)/2 となり、y の被積分関数は 8y − y⁵/2、x 方向は因子 2π を与える。

z が 0 から x² まで動くときの yz の三重積分

値は 32π⁵/5。内側の z の上端は y ではなく x に依存するので、z、y の順に積分すると x⁴ だけが残り、上端 2π が π⁵ を生む。

z が 0 から y² まで動くときの yz の三重積分

値は 32π/3。被積分関数と z の上端がともに y を含むため内側の積分は y⁵/2 にまとまり、x 方向は因子 2π を与えるだけである。

単位球面と円錐 z = r に挟まれた領域での z² の三重積分

積分値は π(4 − √2)/30、およそ 0.270783。円柱座標では円錐が z の下端、球面が上端になり、両者は r = 1/√2 で交わる。

3x + y + z ≤ 3 上の三重積分を dy dx dz の順に組み替える

値は 3/2。領域は切片が x = 1、y = 3、z = 3 の四面体なので、y、x、z の順に積分しても同じ体積が再現される。

平面で囲まれた領域上での三重積分を計算する

入れ子の不等式で表された領域上で 2x − 4yz の三重積分を計算する。答えは −268。各積分範囲がどう代入されるかを dz dy dx の順に示す。

小数の円形境界をもつ三重積分による体積

体積はおよそ 0.7342。z の限界が対称なので内側の積分は平方根の 2 倍になり、y の積分は長さを与え、最後の x の積分は数値計算になる。

すべての積分限界が逆向きの 4x + 5y − 19z の三重積分

値は 612。どの限界も大きい方から小さい方へ向かうので、3 回の符号反転が合わさって全体で 1 回のマイナスになる。積分は最も内側から順に行う。

無限大での極限が a と −a のとき、水平漸近線は何本か

a が有限かつ 0 でなければ、水平漸近線は y = a と y = −a の 2 本。a = 0 のときは 2 本が重なり、y = 0 の 1 本だけになる。

1/(1 + n² ln n) の総和の上界を求める

n ≥ 2 で ln n ≥ ln 2 を使うと、見やすい上界 1 + (π²/6 − 1)/ln 2 = 1.93044 が得られる。真の和はおよそ 1.4976 なので、安全だが緩い評価である。

x = 2 で区分関数を連続にする a の値

a = 2。つなぎ目で連続にするには、左側 x^2 + 2x − 3 の極限 5 が右側の値 2a + 1 と等しくなければならず、2a + 1 = 5 となる。

(x + 4)/(x + m) が (−∞, −7) で増加するのは m ∈ (4, 7]

導関数の分子は m − 4 なので m > 4。さらに極 x = −m が (−∞, −7) に入ってはならないので m ≤ 7。答えは半開区間 (4, 7] である。

s = 5t³ + 3t + 8 の t = 5 秒での速度と加速度

1 回微分すると v = 15t² + 3、2 回微分すると a = 30t となるので、t = 5 秒での速度は 378 m/s、加速度は 150 m/s² である。

a(t) = t² − 2t + 3 と v(1) = 8 から積分で v(3) を求める

v(3) = 44/3 m/s。加速度の [1,3] 上の定積分が速度の変化量を与えるので、t = 1 での初期条件は最後に足せばよい。

半径 2 の球の内側で x² + y² ≥ z² を満たす部分の体積

体積は 16√2π/3、およそ 23.695。球座標では条件 x² + y² ≥ z² は π/4 ≤ φ ≤ 3π/4 になり、ρ と θ は全範囲のまま残る。

y = x² と x = y² に挟まれた領域の y 軸まわりのワッシャー体積は 3π/10

2 曲線を y の式として x について書き直すと、外側の半径は √y、内側は y²。V = π × ∫(y − y⁴)dy を 0 から 1 まで計算して 3π/10 となる。

y = x² + 5 を x 軸まわりに回転した立体の体積

y = x² + 5 の下の領域を x = 0 から x = 5 まで x 軸まわりに回転すると V = 3500π/3 ≈ 3665.19。円板法の立式から計算まで順に示す。

y = e^x を底面とする正方形断面の立体の体積

体積は (e^6 − 1)/2 = 201.21。各正方形の1辺が e^x になるので、体積の積分は 0 から 3 までの e^(2x) の積分になる。

球座標で求める (x² + y² + z²)² ≤ a³z の内部の体積

体積は πa³/3。球座標では曲面が ρ = a(cos φ)^(1/3) となり、現れる ρ³ が 3 乗根を打ち消すので φ の積分が容易になる。

0 から π/2 までの sin^n(x) の積分（ウォリスの公式）

漸化式 I(n) = ((n−1)/n) I(n−2) と I(0) = π/2、I(1) = 1 からウォリスの結果が得られる。n が偶数なら π/2 の因子が残り、奇数なら残らない。

1/x が x = 0 でテイラー展開できない理由（代わりにローラン級数）

テイラー級数には f(0) と 0 におけるすべての階数の導関数が必要だが、1/x はそこで定義されない。0 のまわりでの正しい展開は負のべきをもつローラン級数 x⁻¹ である。

∫x dx = x²/2 か——積分定数 C が必要な理由

惜しい。正しくは x²/2 + C である。べきの公式から x²/2 が出るが、x²/2 + C はどれも微分すると x になるので、原始関数は 1 つではなく族全体になる。

x^7 の積分——x^8/3 + 7 が誤りである理由

∫x^7 dx は x^8/3 + 7 ではなく x^8/8 + C である。べきの公式では新しい指数 8 で割る。x^8/3 を微分すると x^7 ではなく 8x^7/3 になる。