x が正の無限大に向かうときの x^(x+1)/(1+x)^x - 1/e の極限を求めよ。

Step-by-step solution

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   古典的な $e$ の極限が現れるように商を書き換える。 分子から $x$ の因子を 1 つ分離する。$\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}=x\cdot\frac{x^{x}}{(1+x)^{x}}=x\left(\frac{x}{1+x}\right)^{x}=x\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}.$ この一手で、威圧的な指数の塔が、既知の極限を内側に含む形に変わる。

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   角括弧の因子を評価する。 標準の極限 $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\tfrac1x\right)^{x}=e$ より $\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}\longrightarrow\frac{1}{e},$ となるので、この因子は定数 $e^{-1}\approx 0.3678794$ に落ち着く。0 になることも発散することもない。

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   各部分を掛け戻す。 正の定数 $1/e$ に近づく因子と $x\to+\infty$ となる因子の積は発散する。$\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}=x\left(1+\frac1x\right)^{-x}\sim\frac{x}{e}\longrightarrow +\infty.$ つまり式の第 1 項は、1 次の速さ $x/e$ で限りなく増大する。

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   定数を引く。 $\dfrac1e$ は固定された有限の数なので、それを取り除いても発散は何も変わらない。$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}-\frac{1}{e}\right)=+\infty.$ 定数が発散項を打ち消すことは決してない。それができるのは、自分自身が $x/e$ のように増大するものだけである。

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   もっと鋭い引き算なら何が得られるかを見る。 $x\ln\!\left(1+\tfrac1x\right)=1-\tfrac{1}{2x}+\tfrac{1}{3x^{2}}-\cdots$ を展開して指数をとると $x\left(1+\frac1x\right)^{-x}=\frac{x}{e}+\frac{1}{2e}-\frac{5}{24e\,x}+O\!\left(x^{-2}\right).$ となる。したがって $\dfrac{1}{e}$ ではなく $\dfrac{x}{e}$ を引けば有限の極限になり、$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}-\frac{x}{e}\right)=\frac{1}{2e}=0.1839397206,$ となる。教科書がこの問題で普通に意図しているのはこちらの形である。

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   両方の主張を数値で確認する。 $x=10^{5}$ で式の値は $36788.1280560984$ であり、$x/e=36787.9441171442$、$1/e=0.3678794412$ である。したがって定数を引いた差は $36787.7601766572$ となり、すでに巨大でなお増え続けている。一方 $x/e$ を引いた差は $0.1839389542$ で、$\tfrac{1}{2e}$ との差は $7.7\times 10^{-7}$ 以内に収まり、予測される誤差項 $\tfrac{5}{24e\,x}=7.66\times 10^{-7}$ と一致する。