方程式 コサイン（a マイナス x の2乗 の平方根）＝ 1 の解がちょうど8個になるようなパラメータ a の値をすべて求めよ。

Step-by-step solution

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   コサインの方程式を「水準」の一覧に翻訳する。 $\cos\theta=1$ となるのは、ちょうど整数 $k$ に対して $\theta=2\pi k$ のときであり、ここでは $\theta=\sqrt{a-x^2}\ge0$ なので $k=0,1,2,\dots$ しかあり得ない：

   $\sqrt{a-x^2}=2\pi k \quad\Longrightarrow\quad x^2=a-4\pi^2k^2$

   方程式は、$k$ ごとに1つずつの単純な2次方程式の族に変わった。

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   各水準が解をいくつ与えるかを数える。 $k$ を固定すると：

   • $a-4\pi^2k^2>0$ なら解は 2個、$x=\pm\sqrt{a-4\pi^2k^2}$；
   • $a-4\pi^2k^2=0$ ならちょうど 1個、$x=0$；
   • $a-4\pi^2k^2<0$ なら 0個。

   $k$ が違えば $|x|$ の値も違うので、同じ解を二重に数えてしまうことはない。

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   境界の場合はただちに除外する。 ある整数 $m$ について $a=4\pi^2m^2$ となる場合、解の総数は $2m+1$ という奇数になる。$8$ は偶数なので、そのような $a$ はあり得ず、どの水準も厳密に上回っていなければならない。

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   使える $k$ がちょうど4個であることを要求する。 等号が起こらないとすると、解の個数は $2\times(4\pi^2k^2<a\ \text{を満たす }k\text{ の個数})$ である。これが $8$ になるということは、$k=0,1,2,3$ がすべて狭義の不等式を満たし、$k=4$ が満たさないということである：

   $4\pi^2\cdot3^2<a\le 4\pi^2\cdot4^2$

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   閉じている端点を落とす。 右端の $a=64\pi^2$ は除外すべき境界値の1つで（$2\cdot4+1=9$ 個の解になる）落とさなければならず、$a=36\pi^2$ では $2\cdot3+1=7$ 個になる。したがって答えは開区間

   $36\pi^2<a<64\pi^2$

   である。

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   両端を数えて確かめる。 区間の内部にある $a=50\pi^2$ では $k=0,1,2,3$ がすべて条件を満たし $k=4$ は満たさないので、解は $2\cdot4=8$ 個である。$a=36\pi^2$ では $7$ 個に減り、$a=64\pi^2$ では $9$ 個に増えるので、両端の狭義の不等号は欠かせない。