x が −3 から 3、y が 0 から 9 − x² の平方根、z が 0 から 9 − x² − y² まで動くとき、−2y の三重積分 dz dy dx を求めよ。厳密値で答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   積分する前に、積分限界を図形として読む。 $x$ と $y$ の限界は $y\ge 0$ のもとでの $x^2+y^2\le 9$、すなわち半径 $3$ の円板の上半分を表し、$z$ は平面 $z=0$ から放物面 $z=9-x^2-y^2$ まで動く。この半円板に気づくことが、最後の円柱座標による照合を可能にする。

2. 2

   被積分関数に $z$ が含まれないので、まず $z$ について積分する。 内側の積分は被積分関数に立体の高さを掛けたものにすぎない。

   $\int_{0}^{9-x^2-y^2}(-2y)\,dz=-2y\,(9-x^2-y^2)$

3. 3

   $y$ について積分し、2 つの項がまとまる様子を見る。 展開すると $-2y(9-x^2)+2y^3$ なので、$R^2=9-x^2$ とおくと

   $\Bigl[-(9-x^2)y^2+\tfrac12 y^4\Bigr]_{0}^{\sqrt{9-x^2}}=-(9-x^2)^2+\tfrac12(9-x^2)^2=-\tfrac12(9-x^2)^2$

   となる。上端を 2 乗するとちょうど $9-x^2$ になるので、$R$ の 2 つのべきがこれほどきれいにまとまる。

4. 4

   被積分関数の偶関数性を使って $x$ について積分する。 $(9-x^2)^2=81-18x^2+x^4$ は偶関数なので

   $-\frac12\int_{-3}^{3}\!\!\bigl(81-18x^2+x^4\bigr)dx=-\int_{0}^{3}\!\!\bigl(81-18x^2+x^4\bigr)dx$
   $=-\Bigl[81x-6x^3+\tfrac{x^5}{5}\Bigr]_0^3=-\left(243-162+\frac{243}{5}\right)=-\frac{648}{5}$

5. 5

   円柱座標で値を確認する。 $y=r\sin\theta$、$dV=r\,dz\,dr\,d\theta$ とすると、同じ立体は $0\le r\le 3$、$0\le\theta\le\pi$、$0\le z\le 9-r^2$ で表される。

   $\int_0^{\pi}\!\!\int_0^{3}(-2r\sin\theta)(9-r^2)\,r\,dr\,d\theta=-2\left(\int_0^{\pi}\!\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_0^{3}\!r^2(9-r^2)\,dr\right)$

   2 つの因子は $2$ と $81-\tfrac{243}{5}=\tfrac{162}{5}$ なので、$-2\cdot 2\cdot\tfrac{162}{5}=-\tfrac{648}{5}$ となる——まったく別の経路から同じ厳密値が得られた。

6. 6

   符号を解釈する。 立体全体が $y\ge 0$ にあり、そこでは被積分関数 $-2y$ が $\le 0$ なので、答えが負になるのは当然である。正の値が出たら、その時点で符号のミスが分かる。