x → −∞ のときの −2x − 4 の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   増大しうる部分と、しない部分を切り分ける。 $-2x-4$のうち$x$に依存するのは$-2x$の項だけで、$-4$は決まった数である。したがって$-\infty$での式全体の振る舞いは、完全に$-2x$によって決まる。

2. 2

   符号を慎重に追う。 $x\to-\infty$とは、$x$が負のまま絶対値をいくらでも大きくしていくということである。大きな負の数に負の係数$-2$を掛ければ大きな正の数になるので、

   $-2x\to+\infty$

   この符号の反転こそがこの問題の中身のすべてである：「$x\to-\infty$なのだから関数もそうなる」という素朴な推測は、ここでは誤りである。

3. 3

   定数を足し戻す。 限りなく大きくなっていく量から一定の$4$を引いても、増大は止まらない：

   $-2x-4\to+\infty-4=+\infty$

4. 4

   数値で確認する。 $x=-100$では$-2(-100)-4=196$、$x=-10000$では$19996$、$x=-10^6$では$1999996$。値は上限なく増加しており、予測どおりである。

5. 5

   答えと一般則を述べる。 極限は$+\infty$である——この関数は発散するので、有限の極限値は存在しない。一般に$ax+b$の$x\to-\infty$での極限は、$a<0$なら$+\infty$、$a>0$なら$-\infty$になる。ここでは$a=-2<0$である。