0 ≤ z ≤ 3 かつ x² + y² ≤ z で定まる立体上で、x の三重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   立体を記述する。 不等式 $x^2 + y^2 \le z$ は、点が原点から上に開く放物面 $z = x^2 + y^2$ の 内側 にあることを意味する。これを $z = 3$ で切り取ると、高さ $z$ での断面が半径 $\sqrt{z}$ の円板 $x^2 + y^2 \le z$ になる、鉢のような立体が得られる。

2. 2

   領域が x について対称かを調べる。 $x^2$ しか現れないので、$x$ を $-x$ に置き換えても定義する 2 つの条件は変わらない。

   $(-x)^2 + y^2 = x^2 + y^2 \le z$

   よって $(x, y, z) \in E \iff (-x, y, z) \in E$ であり、立体は平面 $x = 0$ について対称である。この確認は不可欠である——対称でない領域ではこの近道は使えない。

3. 3

   被積分関数の x に関する偶奇を調べる。 被積分関数は $f(x,y,z) = x$ であり

   $f(-x, y, z) = -x = -f(x,y,z)$

   なので $x$ について奇関数である。その変数について対称な領域上で奇関数を積分すると 0 になる。どの点も、符号が逆の値をもつ鏡像の点と対になるからである。

4. 4

   計算せずに結論する。

   $\iiint_E x\,dV = 0$

   半分 $x > 0$ からの正の寄与が、$x < 0$ からの負の寄与とちょうど打ち消し合う。

5. 5

   あえて円柱座標で立式して確認する。 $x = r\cos\theta$、$dV = r\,dz\,dr\,d\theta$ とすると

   $\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\sqrt{3}}\!\!\int_{r^2}^{3} r^2\cos\theta\,dz\,dr\,d\theta$

   となる。$\theta$ の積分は $\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0$ としてくくり出せるので、動径方向と鉛直方向の部分がどうであれ積全体が 0 になる。同じ答えが、今度は代数的に確かめられた。（同じ議論により $\iiint_E y\,dV = 0$、$\iiint_E xyz\,dV = 0$ である一方、$\iiint_E z\,dV$ は本当に 0 でない。）