ln(1 + x/(eπ)) を x について微分せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   $e\pi$ を 1 つの定数として扱う。 積 $e\pi\approx 8.53973422$ には $x$ が含まれないので、ただの数とまったく同じように振る舞う。これを早い段階で見抜けば、ここに積や商の微分法を当てたくなる誘惑を断てる。

2. 2

   自然対数に合成関数の微分を適用する。 $u=1+\dfrac{x}{e\pi}$ とすると

   $\frac{d}{dx}\ln u=\frac{u'}{u},\qquad u'=\frac{1}{e\pi}$

   である。$x$ が 1 次で現れるだけなので、内側の導関数は定数 $\tfrac{1}{e\pi}$ になる。

3. 3

   商の形に書く。

   $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{1}{e\pi}}{1+\frac{x}{e\pi}}$

   これで既に正しいが、分数の中に分数がある。もう 1 行かけて整理する価値がある。

4. 4

   繁分数を解消する。 分子と分母に $e\pi$ を掛ける：

   $\frac{\frac{1}{e\pi}\cdot e\pi}{\left(1+\frac{x}{e\pi}\right)e\pi}=\frac{1}{e\pi+x}$

   定数は分子から完全に消え、分母をずらすだけの働きをする。

5. 5

   一般の型として押さえ、検算する。 任意の定数 $c$ に対して $\dfrac{d}{dx}\ln\left(1+\tfrac{x}{c}\right)=\dfrac{1}{x+c}$ が成り立つ。1 次式の対数の導関数は、その 1 次式の逆数を、最高次の係数が 1 になるようにそろえたものである。数値では $x=1.7$ での中心差分が $0.0976588$、$\dfrac{1}{1.7+8.53973422}=0.0976588$ で一致する ✓。