陰関数微分を用いて x³ + x²y + y³ = 7 の dy/dx を求めよ。

Step-by-step solution

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   なぜ陰関数微分が必要かを押さえる。 この関係式は$y$についてきれいに解けないので、代わりに$y$を未知の関数$y(x)$とみなしたまま両辺を$x$で微分する。すると$y$が現れるたびに、合成関数の微分法によって$\frac{dy}{dx}$という因子が生じる。

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   混合項は積の微分法で微分する。 $x^{2}y$は$x$の関数どうしの積なので、$\frac{d}{dx}\left(x^{2}y\right)=x^{2}\frac{dy}{dx}+2xy .$ここで$2xy$の側を書き忘れるのが、この問題で最も多い誤りである。

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   残りの項を微分する。 単なるべき乗からは$\frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}$、合成関数の微分法からは$\frac{d}{dx}(y^{3})=3y^{2}\frac{dy}{dx}$、定数からは$\frac{d}{dx}(7)=0$が得られる。すべてまとめると、$3x^{2}+x^{2}\frac{dy}{dx}+2xy+3y^{2}\frac{dy}{dx}=0 .$

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   dy/dx の項を片側に集める。 整理すると、$\left(x^{2}+3y^{2}\right)\frac{dy}{dx}=-3x^{2}-2xy .$

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   解いたうえで、式が破綻する場所を確認する。 割り算して$\frac{dy}{dx}=-\frac{3x^{2}+2xy}{x^{2}+3y^{2}} .$これは$x^{2}+3y^{2}\ne 0$である限り、すなわち原点を除くすべての点で有効である。そして$0\ne 7$より原点はこの曲線上にないので、結局この式は曲線上のあらゆる点で成り立つ。