x → ∞ のときの (5x³ − 2x + 1)/(3x³ + 7) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   不定形を診断する。 $x\to\infty$のとき分子も分母も限りなく大きくなるので$\tfrac{\infty}{\infty}$になる。これは値ではない——極限を読み取る前に式を書き換えなければならない、と言っているだけである。

2. 2

   現れている最高次のべきで分子と分母を割る。 どちらも3次なので、各項を$x^3$で割る（$x\neq 0$である大きな$x$では正当である）：

   $\frac{5x^{3}-2x+1}{3x^{3}+7}=\frac{5-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{3+\dfrac{7}{x^{3}}}.$

3. 3

   逆数のべきをそれぞれ0に飛ばす。 任意の$k>0$について$x\to\infty$のとき$\dfrac{1}{x^{k}}\to 0$なので、3つの小さな項は消える：

   $\lim_{x\to\infty}\frac{5-0+0}{3+0}=\frac{5}{3}.$

4. 4

   この例が示す一般則を述べる。 有理関数では次数を比べる：次数が等しければ最高次係数の比（ここでは$\tfrac53$）、分子の次数のほうが小さければ$0$、分子の次数のほうが大きければ$\pm\infty$になる。低次の項$-2x$、$+1$、$+7$は答えに一切影響しない。

5. 5

   数値で確認する。 $x=10^{6}$では商は

   $\frac{5\cdot 10^{18}-2\cdot 10^{6}+1}{3\cdot 10^{18}+7}=1.6666666\ldots,$

   となり、$\tfrac53=1.6\overline{6}$と小数点以下かなりの桁まで一致する。