dx / ((x − 1)√(−x² + 2x + 3)) の積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   根号の中を平方完成する。 根号の中身は

   $-x^{2}+2x+3=4-(x-1)^{2}$

   なので、この積分が実数になるのは$|x-1|<2$すなわち$-1<x<3$かつ$x\neq 1$のときだけである。$(x-1)$が根号の外と中の両方に現れていることが、正しい置換への手がかりになる。

2. 2

   逆数置換を使う。 $\dfrac{1}{(x-a)\sqrt{\text{2次式}}}$の形の被積分関数には$x-a=\dfrac1t$とおく。ここでは

   $x-1=\frac1t\quad\Longrightarrow\quad dx=-\frac{dt}{t^{2}}$

   （マイナス符号に注意：$1/t$を微分すると$-1/t^{2}$になる。これを落とすと答え全体の符号が反転する。）

3. 3

   根号を書き換える。 $(x-1)^{2}=\tfrac{1}{t^{2}}$なので、

   $\sqrt{4-(x-1)^{2}}=\sqrt{4-\frac{1}{t^{2}}}=\frac{\sqrt{4t^{2}-1}}{|t|}$

4. 4

   変換後の積分を組み立てる。

   $I=\int\frac{-\dfrac{dt}{t^{2}}}{\dfrac1t\cdot\dfrac{\sqrt{4t^{2}-1}}{|t|}}=-\int\frac{|t|}{t}\cdot\frac{dt}{\sqrt{4t^{2}-1}}=-\operatorname{sgn}(t)\int\frac{dt}{\sqrt{4t^{2}-1}}$

   煩わしい$t^{2}$の因子が完全に消える——これがこの置換の狙いである。

5. 5

   標準形を積分してもとに戻す。 $\displaystyle\int\frac{dt}{\sqrt{4t^{2}-1}}=\frac12\ln\left|2t+\sqrt{4t^{2}-1}\right|+C$であり、かつ$2t+\sqrt{4t^{2}-1}=\dfrac{2\operatorname{sgn}(x-1)+\sqrt{-x^{2}+2x+3}}{|x-1|}$なので、符号の因子は対数と合体して次の1本の式になる：

   $\boxed{I=-\frac12\ln\left|\frac{2+\sqrt{-x^{2}+2x+3}}{x-1}\right|+C}$

   これは$-1<x<1$と$1<x<3$の両方で有効である。

6. 6

   微分と数値の両方で検証する。 答えを微分すると$\dfrac{1}{(x-1)\sqrt{-x^{2}+2x+3}}$に戻る。数値的にも$\displaystyle\int_{1.5}^{2.5}\frac{dx}{(x-1)\sqrt{-x^{2}+2x+3}}=0.634036$であり、閉じた形からは$F(2.5)-F(1.5)=0.634036$が得られる ✓。もう一方の分枝でも$\displaystyle\int_{0.2}^{0.8}=-0.713212$、式からも$-0.713212$となる ✓。

7. 7

   符号に関する2つの罠に注意する。 $(2+\sqrt{\cdot})(2-\sqrt{\cdot})=(x-1)^{2}$なので、別の形$\tfrac12\ln\left|\tfrac{2-\sqrt{-x^{2}+2x+3}}{x-1}\right|$は定数の差しかなく、同じく正しい。しかし先頭のマイナス符号を落とした版は両方の分枝で誤りであり、また$dx=+dt/t^{2}$を$-dt/t^{2}$の代わりに用いると原始関数全体の符号が反転してしまう。