x → ∞ のときの ln x / √x の極限がどの不定形かを述べ、ロピタルの定理を使って求めよ。

Step-by-step solution

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   不定形の種類を見きわめる。 $x\to+\infty$のとき$\ln x \to +\infty$かつ$\sqrt{x} \to +\infty$なので、商は$\dfrac{\infty}{\infty}$の形である。これはロピタルの定理が直接扱える2つの形のうちの1つである。

2. 2

   分子と分母を別々に微分する。 ロピタルの定理は$\dfrac{f}{g}$を$\dfrac{f'}{g'}$で置き換えるものであり、商の微分法ではない。この2つを混同するのが典型的な誤りである：

   $f(x) = \ln x \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x}, \qquad g(x) = x^{1/2} \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

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   新しい商を作って整理する。

   $\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{1/x}{1/(2\sqrt{x})} = \frac{2\sqrt{x}}{x} = \frac{2}{\sqrt{x}}$

   この整理があってこそ定理が効いてくる：新しい式はもはや不定形ではない。

4. 4

   極限を取る。

   $\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{\sqrt{x}} = 0$

   よってもとの極限も$0$である。定理の適用は1回で足りた。

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   結果を解釈する。 これは、対数が$x$のどんな正のべきよりも遅く増大するという標準的な主張にほかならない：すべての$p > 0$について$\ln x = o(x^{p})$である。ここでは$p = \tfrac12$であり、同じ議論が任意の$p$で通用する。

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   数値で検証する。 $x = 10^4$では$\dfrac{\ln 10^4}{\sqrt{10^4}} = \dfrac{9.2103}{100} = 0.092103$。$x = 10^8$では$\dfrac{18.4207}{10^4} = 0.00184207$。$x = 10^{16}$では$\dfrac{36.8414}{10^8} = 3.68\times10^{-7}$ ✓——$0$に向かって減少しており、記号的に極限を取るとちょうど$0$になる。