x が 0 から π、y が 0 から 2 sin x まで動く領域で、x y^2 の重積分を計算せよ。

Step-by-step solution

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   積分の順序を $dy\,dx$ に選ぶ。 領域は下を $y=0$、上を曲線 $y=2\sin x$ で挟まれ、$x$ は固定された区間 $[0,\pi]$ を動く。この記述はすでに「$x$ の範囲は定数、$y$ の範囲は関数」という形になっているので、先に $y$ で積分すれば手間はかからない：

   $\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{2\sin x}xy^{2}\,dy\,dx.$

   順序を逆にすると $y=2\sin x$ を逆に解き、領域を $x=\pi/2$ で分割する必要があり、はるかに面倒である。

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   $x$ を定数とみて内側の積分を実行する。

   $\int_{0}^{2\sin x}xy^{2}\,dy=x\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2\sin x}=\frac{x(2\sin x)^{3}}{3}=\frac{8}{3}x\sin^{3}x.$

   外側の積分を厄介にしているのはこの3乗なので、次にそれを片づける。

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   3倍角の公式で $\sin^{3}x$ を1次に落とす。 $\sin 3x=3\sin x-4\sin^{3}x$ から $\sin^{3}x=\dfrac{3\sin x-\sin 3x}{4}$ が得られる。サインの累乗は $x$ を掛けたまま直接積分できないが、単独のサインなら部分積分で扱えるので：

   $\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi}x\sin^{3}x\,dx=2\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx-\frac{2}{3}\int_{0}^{\pi}x\sin 3x\,dx.$

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   それぞれを $u=x$ として部分積分する。 $\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x$ より：

   $\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx=\big[-x\cos x+\sin x\big]_{0}^{\pi}=\pi.$

   $\int x\sin 3x\,dx=-\dfrac{x\cos 3x}{3}+\dfrac{\sin 3x}{9}$ より：

   $\int_{0}^{\pi}x\sin 3x\,dx=\left[-\frac{x\cos 3x}{3}+\frac{\sin 3x}{9}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi}{3},$

   ここで $\cos 3\pi=-1$、$\sin 3\pi=0$ を使った。

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   まとめて検算する。

   $2(\pi)-\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi}{3}=2\pi-\frac{2\pi}{9}=\frac{16\pi}{9}\approx 5.5851.$

   $\tfrac{8}{3}x\sin^{3}x$ を $[0,\pi]$ 上で数値積分すると $5.5850536$ となり、$\tfrac{16\pi}{9}=5.5850536$ と一致する。$R$ 上ではどこでも $x\ge0$ かつ $y^{2}\ge0$ なので、結果が正になるのは当然である。