n を 1 から無限まで動かしたときの ln(n)/n^2 の無限和を求めよ。

Step-by-step solution

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   まず収束を確かめる。 $\sum n^{-3/2}$ と比較する。$n$ が大きいとき $\ln n<n^{1/2}$ なので $\dfrac{\ln n}{n^2}<\dfrac{1}{n^{3/2}}$ である。$\sum n^{-3/2}$ は収束する（$p=\tfrac32>1$）ので、この級数は絶対収束する。$n=1$ の項は $\ln 1=0$ なので、和は実質的に $n=2$ から始まる。

2. 2

   ゼータ関数を和の中で微分する。 $\Re(s)>1$ に対して

   $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}$

   であり、$\dfrac{d}{ds}n^{-s}=\dfrac{d}{ds}e^{-s\ln n}=-\ln n\cdot n^{-s}$ となる。ここで項ごとの微分が正当なのは、微分した級数が $\Re(s)\ge1+\delta$ 上で一様収束するからである。

3. 3

   恒等式を読み取る。 したがって

   $\zeta'(s)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^s}\quad\Longrightarrow\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^s}=-\zeta'(s)$

   となる。$s=2$ とすれば閉じた形 $-\zeta'(2)$ が得られる。初等的な表示は存在しない。$\zeta'(2)$ はグレイシャー・キンケリン定数と関係しており、$\pi$ と $\ln 2$ だけでは書けない。

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   本当に信頼できる数値を得る。 そのまま足し上げる方法は収束が遅すぎる（$N$ から先の尾はおよそ $(\ln N+1)/N$ である）。最初の $200{,}000$ 項を足し、オイラー・マクローリンの評価 $\dfrac{\ln N+1}{N}-\dfrac{f(N)}{2}-\dfrac{f'(N)}{12}$ で尾を補正すると

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^2}=0.9375482543$

   が得られる。

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   大きさを独立に確認する。 既知の値 $\zeta'(2)=-0.93754825431584\ldots$ は、計算した和と 10 桁まで一致する ✓。粗い評価でも整合する。0 でない最初の 4 項だけで $\tfrac{\ln2}{4}+\tfrac{\ln3}{9}+\tfrac{\ln4}{16}+\tfrac{\ln5}{25}=0.4464$ となり、残る正の尾が和を $0.9375$ へ押し上げていく ✓。