x = 0 から x = 1 まで、x について x² + 3 を定積分せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   和の形に沿って積分を分ける。 積分は線形なので、2 つの項を別々に扱ってよい：

   $\int_{0}^{1}\left(x^{2}+3\right)dx=\int_{0}^{1}x^{2}\,dx+\int_{0}^{1}3\,dx.$

2. 2

   べき乗の公式で各原始関数を求める。 $n\ne-1$ に対する $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ を使うと：

   $\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int 3\,dx=3x.$

   よって被積分関数全体の原始関数は $F(x)=\frac{x^{3}}{3}+3x$ である。定積分では積分定数は要らない——引き算で打ち消し合うからである。

3. 3

   微積分の基本定理を適用する。 $F$ を上端で評価し、下端での値を引く：

   $\left[\frac{x^{3}}{3}+3x\right]_{0}^{1}=F(1)-F(0).$

4. 4

   2 つの値を計算する。 $x=1$ では

   $\frac{1}{3}+3=\frac{1}{3}+\frac{9}{3}=\frac{10}{3}.$

   $x=0$ では $0+0=0$。引き算して

   $\int_{0}^{1}\left(x^{2}+3\right)dx=\frac{10}{3}-0=\frac{10}{3}\approx3.3333.$

5. 5

   図形的な見積もりで検算する。 $[0,1]$ 上で被積分関数は $3$ から $4$ まで動くので、面積は $3\times1=3$ と $4\times1=4$ の間になければならない——$\tfrac{10}{3}=3.33$ はそのとおりである ✓。分けて見ると、定数 $3$ が面積 $3$ の長方形を、$x^{2}$ が $\tfrac13$ を寄与しており、後者はよく知られた単位放物線の下の面積である。