(x − 1) / (x² − 2x + 3)² の x についての不定積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   分母の底の導関数を見る。 部分分数分解に手を伸ばす前に、2乗されている式を微分してみる：

   $\frac{d}{dx}\left(x^2-2x+3\right)=2x-2=2(x-1)$

   分子$x-1$はこれのちょうど半分である。分子が内側の導関数の定数倍になっているときは、置換積分が1行で片づけてくれる——平方完成も逆正接も不要である。

2. 2

   置換する。

   $u=x^2-2x+3,\qquad du=2(x-1)\,dx\quad\Longrightarrow\quad (x-1)\,dx=\tfrac12\,du$

   $(x-1)\,dx$のかたまりが丸ごと置き換わるので、$x$が1つも残らないのである。

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   積分を$u$で書き直す。

   $\int\frac{x-1}{(x^2-2x+3)^2}\,dx=\frac12\int \frac{du}{u^{2}}=\frac12\int u^{-2}\,du$

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   べき乗を積分する。 べき乗則$\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}$を$n=-2$で使うと：

   $\frac12\int u^{-2}\,du=\frac12\cdot\frac{u^{-1}}{-1}=-\frac{1}{2u}$

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   もとの変数に戻し、積分定数を加える。

   $\int \frac{x-1}{\left(x^2-2x+3\right)^2}\,dx=-\frac{1}{2\left(x^2-2x+3\right)}+C$

   分母は$x^2-2x+3=(x-1)^2+2$なので決して0にならず、この原始関数は$\mathbb{R}$全体で有効である。

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   微分して確認する。 $F(x)=-\tfrac12 u^{-1}$とすると、

   $F'(x)=\tfrac12 u^{-2}u'=\frac{2x-2}{2\left(x^2-2x+3\right)^2}=\frac{x-1}{\left(x^2-2x+3\right)^2}\;\checkmark$

   $x=2.5$での数値確認では$F'(2.5)=0.08304498$となり、被積分関数と完全に一致する。