2 ≤ x ≤ 3、0 ≤ y ≤ 2x − 2、0 ≤ z ≤ −2x + 4y − 4 で定まる領域 E 上で、2x − 2yz の三重積分を求めよ。厳密値で答えよ。

Step-by-step solution

1. 1

   x と y を固定して z について積分する。 上端を $Z=-2x+4y-4$ と書くと $\int_0^{Z}(2x-2yz)\,dz=2xZ-yZ^2$ となる。ここで動くのは $z$ だけなので、$2x$ は $2xZ$ に、$-2yz$ は $-yZ^2$ になる。

2. 2

   上端を代入して展開する。 $Z=4y-2x-4$ とすると内側の結果は $-16y^3+16xy^2+32y^2-4x^2y-8xy-16y-4x^2-8x$ に展開される。$Z$ をたたんだまま次の積分に持ち込むより、この時点で完全に展開しておく方が安全である。

3. 3

   y について 0 から 2x − 2 まで積分する。 項ごとに原始関数を求めて $y=2x-2$ を代入すると、外側の被積分関数 $-\frac{88}{3}x^4+\frac{616}{3}x^3-528x^2+\frac{1600}{3}x-\frac{544}{3}$ が得られる。これは $-\frac{8}{3}(x-1)\left(11x^3-66x^2+132x-68\right)$ と因数分解できる。

4. 4

   x について原始関数を求める。 $\int\left(-\frac{88}{3}x^4+\frac{616}{3}x^3-528x^2+\frac{1600}{3}x-\frac{544}{3}\right)dx=-\frac{88}{15}x^5+\frac{154}{3}x^4-176x^3+\frac{800}{3}x^2-\frac{544}{3}x$。

5. 5

   x = 2 から x = 3 まで評価する。 原始関数の差は $-\frac{466}{5}$、すなわち $-93.2$ となる。答えが負になるのは、くさび形のほとんどの部分で $-2yz$ の項が優勢だからである。

6. 6

   数値による確認。 同じ積分範囲に適応型の数値求積を入れ子で適用すると $-93.200000$ が返り、$-\frac{466}{5}=-93.2$ と小数第 6 位まで一致する。

7. 7

   y の段階の計算に注意する。 この問題については $-\frac{4868}{45}\approx -108.2$ と答える解法が広く出回っているが、その値は数値検算に合わない。誤りは、展開した $y$ の原始関数に $y=2x-2$ を代入する箇所で入り込む。