マイナス無限大から 0 までの 1/(3√((x − 8)²)) dx が収束するかどうかを判定し、収束するなら値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   根号を絶対値に直す。 任意の実数$x$について$\sqrt{(x-8)^2}=|x-8|$であり、$x-8$ではない。積分区間が$8$よりはるか左にあるため、この区別こそがこの問題の核心である。

2. 2

   実際の区間の上で絶対値を外す。 $(-\infty,0]$では$x\le 0<8$なので$x-8<0$、したがって$|x-8|=8-x$である。積分は$\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{3(8-x)}$となる。

3. 3

   極限の形に書く。 下端が無限大なので、定義により$\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{3(8-x)}=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{0}\frac{dx}{3(8-x)}.$被積分関数そのものは全区間で連続かつ正であり、厄介なのは区間が有界でないという一点だけである。

4. 4

   原始関数を求める。 $u=8-x$、$du=-dx$と置換すると$\int\frac{dx}{3(8-x)}=-\frac13\int\frac{du}{u}=-\frac13\ln|8-x|+C.$

5. 5

   極限を計算する。 $\lim_{a\to-\infty}\left[-\frac13\ln(8-x)\right]_{a}^{0}=\lim_{a\to-\infty}\left(-\frac13\ln 8+\frac13\ln(8-a)\right).$

   $a\to-\infty$のとき$8-a\to+\infty$、$\ln(8-a)\to+\infty$なので、この式はいくらでも大きくなる。

6. 6

   結論を述べる。 この積分は$+\infty$に発散する。これはおなじみの$1/x$型の裾である：被積分関数は$\frac{1}{3|x|}$のように減衰し、$\int^{\infty}\frac{dx}{x}$はぎりぎり収束しない境界の場合にあたる。