2 を 1 − x² で割ったものの不定積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   分母を因数分解する。 $1-x^2=(1-x)(1+x)$——相異なる2つの1次因子であり、まさに部分分数分解が2つの単純な定数を生む場合である。$(x-1)$ではなく$(1-x)$という順序に注意したい。書かれたままの符号を保つと、後で余計なマイナスが出るのを避けられる。

2. 2

   部分分数分解の形を立てる。

   $\frac{2}{(1-x)(1+x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x}$

   とおいて分母を払うと：

   $2=A(1+x)+B(1-x)=(A+B)+(A-B)x$

3. 3

   係数を比較する。 左辺には$x$の項がなく定数項は$2$なので、

   $A-B=0,\qquad A+B=2\quad\Rightarrow\quad A=B=1$

   したがって$\dfrac{2}{1-x^2}=\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1+x}$である。

4. 4

   内側の導関数に注意しながら、それぞれを積分する。

   $\int\frac{dx}{1-x}=-\ln|1-x|,\qquad \int\frac{dx}{1+x}=\ln|1+x|$

   第1式のマイナス符号は合成関数の微分法から来ている：内側の$1-x$の導関数が$-1$だからである。これを忘れるのがこの積分の最大の落とし穴である。

5. 5

   対数をまとめる。

   $\int\frac{2}{1-x^2}\,dx=\ln|1+x|-\ln|1-x|+C=\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C$

   区間$|x|<1$では、これは$2\operatorname{artanh}(x)+C$と同じものである。

6. 6

   微分して確かめる。

   $\frac{d}{dx}\left(\ln|1+x|-\ln|1-x|\right)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}=\frac{(1-x)+(1+x)}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}$

   もとの被積分関数が復元され、答えが正しいことが確かめられる。