微分方程式 dy/dx + sqrt(1 + (dy/dx)^2) = e^x を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   導関数を 1 つの記号に置き換える。 $p=\dfrac{dy}{dx}$ とおくと、方程式は

   $p+\sqrt{1+p^{2}}=e^{x}$

   となる。$y$ 自身がどこにも現れないことに注目したい。この方程式は各 $x$ で $p$ を代数的に決めており、そのあと積分を 1 回するだけで済む。この種の方程式が扱いやすいのは、まさにこのためである。

2. 2

   2 乗する前に根号を分離する。 そのまま 2 乗すると交差項が残ってしまう。先に分離しておけばそれを避けられる。

   $\sqrt{1+p^{2}}=e^{x}-p$

   平方根が非負であるためには $e^{x}\ge p$ が必要で、これは最後に確認する条件になる。

3. 3

   2 乗して $p^{2}$ が消えるのを見る。

   $1+p^{2}=e^{2x}-2e^{x}p+p^{2}\ \Longrightarrow\ 1=e^{2x}-2e^{x}p$

   2 次の項が消え、$p$ についての 1 次 の方程式が残る。この打ち消しこそが、この問題を閉じた形で解けるものにしている。

4. 4

   $p$ について解き、双曲線正弦を見出す。

   $2e^{x}p=e^{2x}-1\ \Longrightarrow\ p=\frac{e^{2x}-1}{2e^{x}}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\sinh x$

5. 5

   1 回積分する。

   $y=\int\sinh x\,dx=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}+C=\cosh x+C$

   任意定数が 1 つなのは、1 階の方程式として正しい。

6. 6

   解と 2 乗の条件を確かめる。 $p=\sinh x$ とすると $p+\sqrt{1+\sinh^{2}x}=\sinh x+\cosh x=e^{x}$ ✓（$\cosh^{2}-\sinh^{2}=1$ と $\cosh x>0$ を使った）。条件 $e^{x}-p=\cosh x>0$ はすべての $x$ で成り立つので、2 乗によって偽の解が入り込むことはない。数値でも $x=2$ のとき $\sinh 2+\cosh 2=3.6269+3.7622=7.3891=e^{2}$ ✓。