ln(3x²) の導関数を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   対数に合成関数の微分を適用する。 微分可能な任意の内側の関数に対して

   $\frac{d}{dx}\ln u=\frac{u'}{u}$

   が成り立つ。ここでは $u=3x^2$ なので、導関数は「中身の導関数 ÷ 中身」——公式 1 つで済み、積の微分法は要らない。

2. 2

   中身を微分する。

   $u=3x^2\ \Longrightarrow\ u'=6x$

3. 3

   商を作って約分する。

   $\frac{d}{dx}\ln\left(3x^2\right)=\frac{6x}{3x^2}=\frac{2}{x}$

   係数の $3$ も $x$ の 1 乗も約分で消える。この答えは $x\neq 0$ で有効であり、それは $\ln(3x^2)$ の定義域そのものでもある。

4. 4

   3 が消えねばならなかった理由を見る。 対数法則から

   $\ln\left(3x^2\right)=\ln 3+2\ln x$

   つまり定数 + $2\ln x$ である。定数の微分は 0 なので、導関数は $2\cdot\tfrac1x=\tfrac2x$ ——先ほどの約分と一致し、その理由も説明している。対数の中の掛け算の定数は、導関数からは見えないのである。

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   数値で確認する。 $x=2.3$ での中心差分は $0.8695652$、$\tfrac{2}{2.3}=0.8695652$ で一致する ✓。導関数は $x>0$ で正、$x<0$ で負であり、$\ln(3x^2)$ の U 字型の定義域と整合している。