a、b を定数、b ≠ 0 とするとき、1/(a − bx) の x についての不定積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   置換を選ぶ。 分母は1次式なので、分母全体を新しい変数とおく：

   $u=a-bx$

   これは$\int\frac{dx}{\text{1次式}}$の形すべてに通用する定石である——部分分数分解に走ったり、$\ln$の公式を暗記から引っ張り出したりしてはいけない。

2. 2

   置換を微分して dx について解く。

   $du=-b\,dx\qquad\Longrightarrow\qquad dx=-\frac{1}{b}\,du$

   マイナス符号は$-bx$から来ている。これを落とすのがこの積分で最も多い誤りである。

3. 3

   積分を u で書き直す。

   $\int\frac{1}{a-bx}\,dx=\int\frac{1}{u}\left(-\frac{1}{b}\right)du=-\frac{1}{b}\int\frac{du}{u}$

   定数$-\tfrac1b$はそのまま積分の外へ出せる。

4. 4

   積分して戻す。 $\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C$なので：

   $-\frac{1}{b}\ln|u|+C=-\frac{1}{b}\ln|a-bx|+C$

   絶対値は不可欠である：$a-bx$は$x=\tfrac{a}{b}$で符号を変え、そこで被積分関数は垂直漸近線をもつ。原始関数はその両側それぞれで有効である。

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   一般的なパターンとして押さえる。 内側が1次式であれば常に、

   $\int\frac{dx}{px+q}=\frac{1}{p}\ln|px+q|+C$

   ここでは$p=-b$であり、$-\tfrac1b$がそのまま再現される。前に出る係数は必ず内側の傾きの逆数になる。

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   微分して検算する。 合成関数の微分法により$\frac{d}{dx}\left[-\frac1b\ln|a-bx|\right]=-\frac1b\cdot\frac{-b}{a-bx}=\frac{1}{a-bx}$ ✓。数値でも、$a=3.7$、$b=1.9$として$x=0.4,\,-2.0,\,3.0$で対称差分商を取ると被積分関数と5桁一致する ✓。$x=1.947$の漸近線の両側それぞれの点を含めての一致である。