n → ∞ のときの ln(n)/n² の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   不定形を見きわめる。 $n\to\infty$のとき$\ln n\to\infty$かつ$n^{2}\to\infty$なので、商は$\infty/\infty$型である。この形には自動的に決まる値はない——答えはどちらが速く増大するかで決まるので、直接代入ではなく比較の道具が必要になる。

2. 2

   ロピタルの定理を1回適用する。 $n$を連続変数とみなして分子と分母を別々に微分すると：

   $\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^{2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{2n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n^{2}}=0$

   1回で十分なのは、$\ln n$を微分すると対数が完全に消えるのに対し、分母はべきのままだからである。

3. 3

   増大の順序で検算する。 この結果は一般的な事実の一例である：$\ln n$はすべての$p>0$について$n^{p}$より遅く増大するので、$\ln n/n^{p}\to0$が常に成り立つ。数値でも$\ln(10^{6})/(10^{6})^{2}\approx1.4\times10^{-11}$——すでに実質ゼロである ✓。

4. 4

   最大値の位置を押さえ、単調減少と取り違えないようにする。 $f(n)=\ln n\cdot n^{-2}$として積の微分法を使うと

   $f'(n)=\frac{1}{n}\cdot n^{-2}+\ln n\cdot(-2)n^{-3}=\frac{1-2\ln n}{n^{3}}$

   となり、これは$\ln n=\tfrac12$すなわち$n=\sqrt{e}\approx1.6487$で0になる。つまり$f$は$n\approx1.65$まで増加し、それから初めて$0$へ減衰していく。数値微分は$n=2,5,9$でこの式と$10^{-6}$の精度で一致する ✓。

5. 5

   この極限が級数について何を意味し、何を意味しないかに注意する。 項が$0$に向かうことは収束の必要条件であって十分条件ではない。ここでは実際に収束する。比較によって示せる：大きな$n$では$\ln n<n^{1/2}$なので$\dfrac{\ln n}{n^{2}}<\dfrac{1}{n^{3/2}}$であり、$\sum n^{-3/2}$は$p=3/2>1$の収束する$p$級数である。

   和の値は$-\zeta'(2)\approx0.93755$であり、最初の200万項を足すと$0.9375405$になる ✓。