領域 0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1 上での x² + y² の二重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   長方形上の累次積分を立てる。 積分区間が定数なので順序は問わない。$\int_0^1\int_0^1\left(x^2+y^2\right)dy\,dx$ と書く。

2. 2

   被積分関数を 1 変数の 2 つに分ける。 $\iint(x^2+y^2)\,dA=\iint x^2\,dA+\iint y^2\,dA$。領域が区間の直積なので、どちらも分離できる。

3. 3

   1 つ目を計算する。 $\int_0^1 x^2\,dx\cdot\int_0^1 dy=\frac13\cdot 1=\frac13$。

4. 4

   2 つ目には対称性を使う。 $x$ と $y$ の役割を入れ替えると正方形はそれ自身に写り、2 つ目の被積分関数は 1 つ目に変わる。よって $\iint y^2\,dA=\frac13$ でもある。対称性に気づけば計算を繰り返さずに済む。

5. 5

   2 つの寄与を足す。 値は $\frac13+\frac13=\frac23\approx 0.6667$ である。

6. 6

   数値による確認。 単位正方形上の適応求積は $0.66666667$ を返し、$\frac23$ と一致する。