領域 D = {−2 ≤ x ≤ 0、0 ≤ y ≤ 5π/2} 上での x·y·e^(x²·y) の二重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   置換が使えるように内側の変数を選ぶ。 指数 $x^2y$ を $x$ で微分すると $2xy$ になり、被積分関数はすでに因子 $xy$ を持っている。よって $x$ を先に積分する。$y$ を先にすると代わりに部分積分が必要になる。

2. 2

   内側の積分で u = x²y と置換する。 すると $du=2xy\,dx$ なので $xy\,dx=\tfrac12\,du$ である。積分区間は $x=-2\Rightarrow u=4y$、$x=0\Rightarrow u=0$ と移る（$x$ は負だが $x^2$ は負でない）。

3. 3

   内側の積分を計算する。 $\int_{-2}^{0}xy\,e^{x^2y}\,dx=\frac12\int_{4y}^{0}e^u\,du=\frac12\left(e^0-e^{4y}\right)=\frac{1-e^{4y}}{2}$。$u$ の積分区間が反転していることが、$y>0$ で結果を負にしている。

4. 4

   結果を y で積分する。 $\int_0^{5\pi/2}\frac{1-e^{4y}}{2}\,dy=\frac12\left[y-\frac{e^{4y}}{4}\right]_0^{5\pi/2}=\frac12\left(\frac{5\pi}{2}-\frac{e^{10\pi}}{4}+\frac14\right)$。

5. 5

   2 分の 1 を配る。 厳密値は $\frac{5\pi}{4}+\frac18-\frac{e^{10\pi}}{8}$ である。$e^{10\pi}\approx 4.4031\times 10^{13}$ なので、指数関数の項が完全に支配する。

6. 6

   数値による確認。 閉じた形の値は $-5.5039382325749\times 10^{12}$ であり、$\int_0^{5\pi/2}\frac{1-e^{4y}}{2}dy$ の適応求積も $-5.5039382325749\times 10^{12}$ を返して、有効数字 13 桁まで一致する。