入れたてのコーヒーが90℃で、室温20℃の部屋に置かれている。10分後にコーヒーは65℃まで冷めた。20分後の温度と、30℃になるまでの時間を求めよ。

Step-by-step solution

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   微分方程式を立てる。 ニュートンの冷却の法則は、冷える速さが物体の温度そのものではなく、周囲より何度高いかに比例すると述べている：

   $\frac{dT}{dt}=-k\,(T-T_a),\qquad T_a=20^\circ\text{C}$

   変数分離して積分すると、標準的な解

   $T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}=20+70e^{-kt}$

   が得られる。$T_0-T_a=90-20=70$ だからである。

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   10分後の測定値から $k$ を求める。 これがモデルに残る唯一の未知数で、データ1点で確定する：

   $65=20+70e^{-10k}\;\Longrightarrow\;e^{-10k}=\frac{45}{70}=\frac{9}{14}$

   $k=-\frac{1}{10}\ln\frac{9}{14}=\frac{1}{10}\ln\frac{14}{9}\approx0.04418\ \text{min}^{-1}$

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   $k$ の小数値を使わずに20分後の温度を出す。 $20=2\times10$ なので、指数部分は単に2乗になる：

   $e^{-20k}=\left(e^{-10k}\right)^{2}=\left(\frac{9}{14}\right)^{2}=\frac{81}{196}$

   $T(20)=20+70\cdot\frac{81}{196}=20+\frac{405}{14}=20+28.93=48.93^\circ\text{C}$

   厳密な分数のまま扱えば、$70e^{-0.0442\times20}$ から生じる丸め誤差の蓄積を避けられる。

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   $30^\circ\text{C}$ に達する時刻を求める。 $T(t)=30$ と置くと：

   $30=20+70e^{-kt}\;\Longrightarrow\;e^{-kt}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}\;\Longrightarrow\;kt=\ln 7$

   $t=\frac{\ln 7}{k}=\frac{10\ln 7}{\ln(14/9)}=\frac{19.459}{0.44183}\approx44.0\ \text{分}$

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   2つの答えを互いに照らして妥当性を確かめる。 コーヒーは最初の10分で $25^\circ$ 下がるのに、次の10分では約 $16^\circ$ しか下がらない（$65\to48.9$）。下がり幅が小さくなっていくのは、室温へ指数的に近づくという予測そのものである。また $30^\circ\text{C}$ は室温よりわずか $10^\circ$ 高いだけなので、そこに達するには長い尾を引く時間がかかるはずで、$44$ 分という値と整合する。$e^{-kt}>0$ がすべての $t$ で成り立つので、コーヒーが有限時間で $20^\circ\text{C}$ に達することは決してない。