h(x) = (2x + 1)⁵(x² − 1)³ とする。h′(x) と等しい式はどれか。

Step-by-step solution

1. 1

   外側の構造が積であることを見抜く。 $h$ は $u\cdot v$ の形で

   $u=(2x+1)^{5},\qquad v=\left(x^{2}-1\right)^{3},$

   なので積の微分法 $h'=u'v+uv'$ が適用できる。選択肢 (C) と (D) は項が 1 つしかないので、この時点で誤り——積の微分法を使わず 2 つの導関数を掛けてしまっている。

2. 2

   合成関数の微分で u を微分する。 指数を前に下ろし、指数を 1 減らし、内側の導関数を掛ける：

   $u'=5(2x+1)^{4}\cdot\frac{d}{dx}(2x+1)=5(2x+1)^{4}\cdot 2=10(2x+1)^{4}.$

   この因子 $2$ こそが選択肢 (B) と (A) を分けるものである。

3. 3

   合成関数の微分で v を微分する。

   $v'=3\left(x^{2}-1\right)^{2}\cdot\frac{d}{dx}\left(x^{2}-1\right)=3\left(x^{2}-1\right)^{2}\cdot 2x=6x\left(x^{2}-1\right)^{2}.$

4. 4

   積の微分法で組み立てる。

   $h'(x)=10(2x+1)^{4}\left(x^{2}-1\right)^{3}+6x(2x+1)^{5}\left(x^{2}-1\right)^{2},$

   これはまさに選択肢 (B) である。

5. 5

   (A) がなぜ引っかかりやすい誤答なのかを見る。 選択肢 (A) は内側の導関数を両方とも忘れたときに出てくる式で、$10$ と $6x$ の代わりに $5$ と $3$ を使っている。かっこの中身が単なる $x$ より複雑なときは、必ずこの内側の導関数が現れる。

6. 6

   式として検証する。 もとの式を微分して選択肢 (B) を引くと、簡約してちょうど $0$ になり、この選択が裏づけられる。さらなる確認として、共通因子 $(2x+1)^4(x^2-1)^2$ をくくり出すと $h'(x)=(2x+1)^4(x^2-1)^2\left[10(x^2-1)+6x(2x+1)\right]=(2x+1)^4(x^2-1)^2\left(22x^2+6x-10\right)$ となる。