x < 2 で f(x) = x^2 + 2x - 3、x ≥ 2 で f(x) = ax + 1 と定める。f が x = 2 で連続になる a の値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   1点での連続性が何を要求するかを書き出す。 関数が $x=2$ で連続なのは、次の3つがすべて存在し一致するとき、かつそのときに限る：

   $\lim_{x\to 2^-}f(x)=f(2)=\lim_{x\to 2^+}f(x)$

   どちらの区分も多項式なので、それぞれの側では連続である。問題が起こりうるのは、つなぎ目 $x=2$ での食い違いだけである。

2. 2

   最初の区分から左側極限を計算する。 $x<2$ では $f(x)=x^2+2x-3$ という多項式なので、極限は $2$ での値そのものである：

   $\lim_{x\to 2^-}f(x)=2^2+2(2)-3=4+4-3=5$

3. 3

   2つ目の区分から関数値と右側極限を計算する。 2つ目の規則は $x\ge 2$ に適用されるので、$f(2)$ と右側極限の両方を与える：

   $f(2)=2a+1,\qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=2a+1$

   不等号が $x>2$ ではなく $x\ge 2$ なので、関数はつなぎ目ですでに定義されている。埋めるべき穴はなく、閉じるべき飛びがあるだけである。

4. 4

   両側を等しいと置いて解く。 連続性から

   $2a+1=5\qquad\Longrightarrow\qquad 2a=4\qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{a=2}$

5. 5

   関数を書き直して検証する。 $a=2$ とすると、

   $f(x)=\begin{cases} x^2+2x-3, & x<2\\ 2x+1, & x\ge 2\end{cases}$

   である。左から近づくと $f(1.99)=4.9401$、右から近づくと $f(2.01)=5.02$、そして $f(2)=5$ である。グラフは飛びなくつながる。ただし得られたのは連続性だけであることに注意したい。$x=2$ での左側の微分係数は $2x+2=6$、右側の微分係数は $2$ なので、グラフにはそこで角が残る。$a$ をどう選んでも微分可能にはできない。