f(x) = 2e^(3x) の導関数を求めよ。

Step-by-step solution

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   3 つの要素に分けて見る。 この関数は定数 $2$ と合成関数 $e^{3x}$ の積であり、後者は外側が $e^{u}$、内側が $u=3x$ である。定数は微分をそのまま通り抜けるので、実際に手を動かすのは合成の部分だけである。

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   外側の指数関数を微分する。 指数関数は微分しても自分自身である：

   $\frac{d}{du}e^{u}=e^{u}$

   だから新しい関数は現れない——答えを変えうるのは合成関数の微分から出る因子だけである。

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   内側を微分して合成関数の微分法則を使う。

   $\frac{d}{dx}(3x)=3\ \Longrightarrow\ \frac{d}{dx}e^{3x}=3e^{3x}$

   この 3 という因子を忘れて $e^{3x}$ をそのまま導関数だと書いてしまうのが、指数関数で最も多い誤りである。

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   定数を掛ける。

   $\frac{d}{dx}\left(2e^{3x}\right)=2\cdot 3e^{3x}=6e^{3x}$

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   一般化して確かめる。 同じ理屈から、任意の定数 $C,k$ に対して $\dfrac{d}{dx}\left(Ce^{kx}\right)=kCe^{kx}$ が成り立つ。指数関数の形はそのまま残り、係数だけが変わる。数値では $x=0.4$ の中心差分が $19.9207$ を与え、$6e^{1.2}=19.9207$ と一致する ✓。