f(x) = x · cos(x + 3) + 7 の導関数を求めよ。

Step-by-step solution

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   関数を部分に分ける。 微分は線形なので、$x\cos(x+3)$ と定数 $7$ を別々に扱えばよい。定数の微分は $0$ なので $+7$ は何も寄与しない——グラフを縦にずらすだけで、どの点の傾きも変えない。

2. 2

   第 1 項に積の微分法を組み立てる。 $u = x$、$v = \cos(x+3)$ とすると：

   $\frac{d}{dx}\left[uv\right] = u'v + uv'$

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   各因子を微分する。 $u' = 1$ である。$v$ については合成関数の微分から

   $v' = -\sin(x+3)\cdot\frac{d}{dx}(x+3) = -\sin(x+3)\cdot 1 = -\sin(x+3)$

   となる。偏角が平行移動だけなので内側の導関数は $1$ である。これが $\cos(3x+3)$ だったなら、余分に $3$ という因子がついていた。

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   導関数を組み立てる。

   $f'(x) = 1\cdot\cos(x+3) + x\left(-\sin(x+3)\right) = \cos(x+3) - x\sin(x+3)$

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   都合のよい点で検算する。 $x = -3$ では偏角が $0$ になるので $f'(-3) = \cos 0 - (-3)\sin 0 = 1$ である。刻み $10^{-6}$ で $x = -3$ における $f$ の中心差分をとっても $1.000000$ が返る。$x = 0$ では $f'(0) = \cos 3 = -0.989992$ で、数値微分と小数第 6 位まで一致する。